Eine Schnecke auf nem Gummiband [gelöst]

14.12.2004, 22:25

martn

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Eine Schnecke auf nem Gummiband [gelöst]

Eine punktförmige Schnecke kriecht auf einem 1m langen Gummiband mit der
konstanten Geschwindigkeit von 5 cm/h vorwärts. Am Ende der ersten und jeder
weiteren Stunde wird das Band homogen um jeweils einen Meter gedehnt. Wird die
Schnecke in endlicher Zeit das rechte Ende erreichen, wenn sie zu Beginn der ersten
Stunde am linken Ende startet?

Ein scheinbar einfaches Rätsel.

In endlicher Zeit: also nach n Stunden
Also schafft doch die schnecke n * 5cm aber das Band ist n * 100cm lang. Scheinbar ist die offensichtliche Antwort nein, die Schnecke erreicht nie das rechte ende.

Aber so ne aufgabe kann man doch nicht an einer uni stellen, wenn das so einfach wäre. was meint ihr?

PS: möglicherweise wurde diese oder einen ähnliche aufgabe schonmal gestellt, wäre trotzdem für ne antwort dankbar

14.12.2004, 22:34

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RE: Eine Schnecke auf nem Gummiband
Habe ich vor Jahren schon mal gesehen, in der "kontinuierlichen" Differenzialgleichungs-Variante, also gleichmäßiges Ziehen des Gummibands:

Dauerte ziemlich lange (so Größenordnung exp(V/v), wobei V bzw. v die Zieh- bzw. Kriechgeschwindigkeiten sind), aber es war endlich. Kann man auch aufschreiben, aber dazu ist es heute zu spät...

15.12.2004, 09:12

Sciencefreak

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Überlege dir einfach mal was passiert, wenn das Band gedennt wird! Das passiert nicht nur an der Strecke, die die Schnecke noch laufen muss, sondern auch mit der Strecke, die die Schnecke schon gelaufen ist. Das heißt, dass die Schnecke nach einer Stunde "nur" 190 cm vor sich hat und nicht 195 cm
Die Länge die es noch vor sich hat berträgt ja dann immer $\begin{eqnarray*} l_n=(l_{n-1}-5cm)*\frac {n+1}{n} \end{eqnarray*}$
Wobei $\begin{eqnarray*} l_1=100cm \end{eqnarray*}$ und n am Anfang bei 1 startet, also nach einer Stunde bei 2 ist. Jetzt darfst du das ganze untersuche, ob diese Reihe weiterhin monoton wächst, oder irgendwann bei 0 anlangt

15.12.2004, 11:39

eule

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Die Schnecke erreicht das Ende. Es gibt zwei Lösungsmöglichkeiten:
1) Differentialgleichungen.
2) Aufstellen einer Reihe und Grenzübergang.

15.12.2004, 14:40

Em'A'Ce

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Gibt's auch eine Lösugsmöglichkeit ohne Differenzialgleichung oder Grenzübergang. Des hatten wir nämlich beides noch nicht in der Vorlesung. d.h. des dürfen wir nicht benutzen.

15.12.2004, 16:01

pimaniac

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Naja das ganze deht natürlich auch ohne Differentialgleichungen weils ja nix kontinuierliches is. Hattet ihr schon Erzeugende Funktionen... mit denen geht es nämlich auch?

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15.12.2004, 16:18

eule

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Ups, habs nur überflogen. Kannte das ganze Rätsel mit kontinuierlicher Dehnung. So ist es ganz einfach eine Reihe.

15.12.2004, 18:25

PK

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nette Aufgabe, die Schnecke ist bestimmt verhungert, wenn sie endlich nach diesen vielen, vielen Stunden ihr Ziel erreicht hat und sie wird sich wohl ziemlich vera****t vorkommen

15.12.2004, 21:16

bird

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Nur mal eine Verständnis-Frage:
nach 1 h ist die Schnecke 5 cm gewandert, das Band dehnt sich dann um einen m, wobei es hinter der Schnecke 5 cm länger wird, und vor der Schnecke 95 cm.
D.h. die Schnecke hat nun 10 cm von 2m hinter sich.

Nach einer weiteren Stunde ist die Schnecke bei 15 cm angelangt. Wird hinter ihr jetzt um 7.5 cm gedehnt und vor ihr um 92.5, also im Verhältnis zur zurückgelegten Strecke?

Wenn ich mir das vorstelle und die ersten Meter berechne, muß ich sagen, daß zumindest meine Schnecke nie ankommt... unglücklich

unglücklich

15.12.2004, 21:22

Sciencefreak

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Ja die ersten Meter, aber n/(n+1) konvergiert halt gegen 1, also wird die Strecke vor der Schnecke fast nicht mehr länger

15.12.2004, 21:38

AD

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OK, mal ein bißchen "Mathematik":

Sei b_n die Länge des Gummibands am Ende von Stunde n (unmittelbar nach dem Dehnen):

$\begin{eqnarray*} b_0 = 1,\quad b_n=b_{n-1}+1\quad\Rightarrow\quad b_n=n+1 \end{eqnarray*}$

Sei a_n der Abstand der Schnecke vom Beginn des Gummibands am Ende von Stunde n (unmittelbar nach dem Dehnen):

$\begin{eqnarray*} a_0 = 0,\quad a_n = (a_{n-1}+0.05)\frac{b_n}{b_{n-1}} = (a_{n-1}+0.05)\frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\quad a_n = 0.05(n+1)\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} \qquad \end{eqnarray*}$ (Nachweis durch vollständige Induktion)

Somit ist a_n >= b_n, sobald

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} \geq \frac{1}{0.05}=20 \end{eqnarray*}$

gilt - und das ist erreichbar, da die harmonische Reihe divergiert.

15.12.2004, 21:45

Leopold

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Hatten wir schon einmal.

15.12.2004, 21:48

AD

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@Leopold

Hättest du mal eher gepostet, dann wäre mir 5 Minuten Arbeit erspart geblieben. traurig

traurig

15.12.2004, 22:18

AD

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Nur als Ergänzung: Beim kontinuierlichen Ziehen mit 1 Meter pro Stunde kommt man auf

$\begin{eqnarray*} b(t)=1+t,\qquad a(t)=0.05(t+1)\ln(t+1) \end{eqnarray*}$

Hier kann man den Zeitpunkt T des Erreichens des Ziels explizit angeben: Aus a(T)=b(T) folgt

$\begin{eqnarray*} T=\left(e^{20}-1\right)~\mbox{Stunden}~ \approx 55300~\mbox{Jahre} \end{eqnarray*}$

Also ganz schön lange...

15.12.2004, 23:46

riwe

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Nur als Ergänzung: Beim kontinuierlichen Ziehen mit 1 Meter pro Stunde kommt man auf

$\begin{eqnarray*} b(t)=1+t,\qquad a(t)=0.05(t+1)\ln(t+1) \end{eqnarray*}$

Hier kann man den Zeitpunkt T des Erreichens des Ziels explizit angeben: Aus a(T)=b(T) folgt

$\begin{eqnarray*} T=\left(e^{20}-1\right)~\mbox{Stunden}~ \approx 55300~\mbox{Jahre} \end{eqnarray*}$

Also ganz schön lange...

da habe ich dann irgendwo gelesen, wie lange schnecken im mittel leben, es geht sich irgendwie nicht aus
werner

16.12.2004, 09:21

AD

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@wernerrin

Solche biologischen Betrachtungen sind doch für einen Mathematiker völlig irrelevant, genau wie die dann nötige enorme Dehnbarkeit des Gummibandes. Big Laugh

Big Laugh

17.12.2004, 19:27

Leopold

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Behauptung:
Es gibt unendlich viele Autos auf der Welt.

Beweis durch Widerspruch:
Gäbe es nur endlich viele Autos, so gäbe es eine natürliche Zahl n, die die Anzahl dieser Autos bestimmt. Während ich das aber niederschreibe, sind schon wieder mehrere Autos gebaut worden. Also ist n=n+k mit einem positiven ganzzahligen k. Das ist ein Widerspruch.
Also gibt es unendlich viele Autos auf der Welt.

17.12.2004, 21:23

eule

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Hier mal meine Lösung für die kontinuierliche Variante:

Sei $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ die Länge des Bandes in Vielfachen von 5cm. Wenn das Band immer am Ende einer Stunde ruckartig gedehnt wird kriecht die Schnecke in der ersten Stunde 1/L des Bandes, in der zweiten Stunde 1/2L des Bandes, in der dritten 1/3L des Bandes usw. Nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ Stunden ist sie

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{L} \sum_{j=1}^t~\frac{1}{j} \end{eqnarray*}$

Prozent des Bandes gekrochen. Da die harmonische Reihe divergiert wissen wir bereits das sie das Ende des Bades erreicht. Es ist aber mühsam über obige Darstellung das kleinste $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ zu errechnen bei dem die Summe größer als $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist. Außerdem dehnt sich unser Band kontinuierlich. Also benutzen wir ein bischen einfache Analysis.
Je kürzere Zeitintervalle (statt einer Stunde) wir betrachten desto genauer wird unser Wert für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Wenn wir einen Grenzübergang machen erhalten wir

$\begin{eqnarray*} \int_1^t \frac{1}{Lx} dx=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{L} \ln(t)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln(t)=L=20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=e^{20} \end{eqnarray*}$ Stunden $\begin{eqnarray*} \approx 55347 \end{eqnarray*}$ Jahre.

Noch ein kleiner Nachtrag das der Grenzübergeng stimmt:

Die Riemannuntersumme der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ hat folgende Form:

$\begin{eqnarray*} S_u:=\Delta x*\sum_{i=0}^{n-1}~f(x_0+i*\Delta x). \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \Delta x=\frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0=a \end{eqnarray*}$ . Setzen wir:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{Lx}, a=1, n=t, \Delta x=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j=i+1 \end{eqnarray*}$ so erhalten wir

$\begin{eqnarray*} S_u:= \sum_{i=0}^{t-1}\frac{1}{L*(i+1)}=\frac{1}{L} \sum_{j=1}^{t}\frac{1}{j}. \end{eqnarray*}$

Ich wollte bewußt zeigen dass die Aufgabe auch auf Oberstufenniveau zu lösen ist. Der vieleicht etwas naheliegendere Weg wäre die Lösung über eine Differentialgleichung.

17.12.2004, 21:29

AD

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Zitat:

Original von eule
$\begin{eqnarray*} t=e^{20} \end{eqnarray*}$ Stunden $\begin{eqnarray*} \approx 55384 \end{eqnarray*}$ Jahre.

geschockt

Du hast dich um mehrere Jahrzehnte verrechnet - wegen der Schaltjahre!

( Teufel

Teufel

Tut mir leid, ich konnte mich einfach nicht beherrschen... Teufel

Teufel

)

17.12.2004, 21:50

eule

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Stimmt war zu faul die zu berücksichtigen ^^.

hab aber auch nur ungefähr gleich geschrieben.
*oben heimlich nachbesser*

17.12.2004, 22:14

AD

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Hast du nur den Julianischen oder auch den Gregorianischen Kalender berücksichtigt? Macht nochmal ungefähr ein Jahr aus, diesmal in der anderen Richtung.

(Ich habe wohl heute zuviel Glühwein getrunken, das musst du mir nachsehen. Prost

Prost

)

17.12.2004, 22:36

Sciencefreak

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Und selbst der neue Kalender den wir benutzen deckt sich nicht genau mit der Sonnenumlaufzeit, also ist deine Sache auch falsch. Du hast außerdem zum einen das Tropische Jahr, welches wir benutzen und das hat 365d 5h 48min und 46s und es gibt noch das siderische Jahr mit 365d 6h 9min und 9s. Somit ist dein Ergebnis wahrscheinlich auch falsch und Jahrist so oder so eine Definitionssache. Das Jahr in der Bankwirtschaft hat zum Beispiel nur 360 Tage. Meinetwegen kannst du auch noch das Mondjahr nehmen, dass ist noch etwas kürzer...

18.12.2004, 02:12

JochenX

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ich schreibe hier gerne noch einmal die frage:

Zitat:

Wird die Schnecke in endlicher Zeit das rechte Ende erreichen, wenn sie zu Beginn der ersten Stunde am linken Ende startet?

antwort: ja... mehr nicht.
also höret auf zu diskutieren! es ist genug!

*ggggggg*

mfg und gute nacht, jochen

18.12.2004, 08:03

Leopold

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Unglaublich, mit welcher Leichtfertigkeit hier über andere Geschöpfe verfügt wird. Alle gehört ihr ins Gefängnis!

18.12.2004, 11:00

AD

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Ich hab's ja immer gewusst, dass Tiere (zumindest laut Gesetz) besser geschützt sind als Menschen. verwirrt

verwirrt

18.12.2004, 17:13

eule

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Bei der Verbesserung wurde das tropische Jahr mit 5 Kommastellen benutzt und dann gerundet.

09.06.2010, 12:26

gast102

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RE: Eine Schnecke auf nem Gummiband [gelöst]
Hallo,

also wir hatten heute dieselbe Aufgabe . Versteh grad nicht wozu
man hier eine Differentialgleichung braucht.
Die geschwindigkeit der schnecke ist ihre eigene plus die Dehnung des
Bandes?? v(t)=v_eigen+x(t)/länge(t)*v

versteh grad net warum ich v'(t)=v_eigen++x(t)/länge(t)*v

rechnen soll ?

09.06.2010, 12:30

blurry331

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RE: Eine Schnecke auf nem Gummiband [gelöst]
hmm könnte mir vorstellen dass dies mit der Änderung zu tun hat.

09.06.2010, 12:53

AD

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Von der Beschleunigung $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ hat keiner hier was gesagt. Es geht vielmehr um $\begin{eqnarray*} v(t) = x'(t) \end{eqnarray*}$ , oder wie man in der Physik bei Differentiation nach der Zeit besser schreibt: $\begin{eqnarray*} v(t) = \dot{x}(t) \end{eqnarray*}$

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