Rekursion

27.04.2007, 08:24

goldnerbagger

Rekursion

Ich habe die Rekursion

W0(x)=1
W1(x)=2x+1
Wn(x)=2x*Wn-1(x)-Wn-2(x)

Meine erste Frage, wenn ich die Rekursion von der Folge xn erstellen soll. Leider ist das manuskript nicht so erfüllend. Mache ich das wie bei normalen Folen? Die Differenz oder Qoutienten bestimmen?

2. Frage: Wie kann ich eine nicht rekursive Darstellung bilden.
Habe lange überlegt, aber bisher auch in der Literatur nix gefunden.
Vielen Dank für einen Hinweis.

27.04.2007, 08:58

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Für festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kann man W_n(x) als Lineare Differenzengleichung auffassen und die dort übliche Lösungstheorie anwenden.

27.04.2007, 10:34

goldnerbagger

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Erstma vielen Dank. Habe mir die Seite angeschaut, bin der Meinung es verstanden zu haben. Jedoch kann ich es irgendwie nicht auf meine Aufgabe anwenden.
Mal so: Ich habe doch die Rekursionsvorschrift für die Polynome gegeben, d.h. ich kann die verschiedenen Folgeglieder angeben. Wie bilde ich die Folgerekursion. Irgendwas ist bei mir noch nicht ganz durchgedrungen.

27.04.2007, 10:52

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Zitat:

Auszug aus dem Wikipedia-Artikel:
Allgemein nennt man jede Gleichung der Form

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = ua_n + va_{n-1} \end{eqnarray*}$

eine (homogene) lineare Differenzengleichung 2. Ordnung (mit konstanten Koeffizienten).

Genau eine solche liegt hier für $\begin{eqnarray*} a_n=W_n(x) \end{eqnarray*}$ doch vor, und zwar mit $\begin{eqnarray*} u=2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=-1 \end{eqnarray*}$ . Also weiter wie dort im Text, charakteristische Gleichung aufstellen und lösen

$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda^2-u\lambda-v = \lambda^2-2x\lambda+1 \end{eqnarray*}$

mit den beiden (für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ sogar komplexen) Lösungen $\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} = x\pm \sqrt{x^2-1} \end{eqnarray*}$ . Und nun führt der Ansatz

$\begin{eqnarray*} a_n = c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n \end{eqnarray*}$

zum Erfolg, wenn man zur Bestimmung der noch fehlenden Konstanten $\begin{eqnarray*} c_1,c_2 \end{eqnarray*}$ die Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray*} a_0=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_1=2x+1 \end{eqnarray*}$ einsetzt.

Das klappt jetzt für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit Ausnahme von $\begin{eqnarray*} |x|=1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x=\pm 1 \end{eqnarray*}$ . Aber dazu steht auch einiges in dem Wikipedia-Beitrag, wie in solchen Fällen zu verfahren ist...

27.04.2007, 11:49

goldnerbagger

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Jetzt wird mir alles klar. Vielen, vielen Dank. Habe den Schritt verstanden. Meine letzte Frage. Es soll ja die nichtrekursive Darstellung der Folgegleider gebildet werden. Danach soll dies getestet werden, indem x4 berechnet werden soll für a=3. Dies einmal rekursiv und einmal nicht rekursiv.

Untersuche ich dies an der Stelle 3 für das Polynom W4(x)?

27.04.2007, 12:06

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x4 ? a=3 ?

Tut mir leid, da kann ich dir nicht folgen. unglücklich

27.04.2007, 12:09

goldnerbagger

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Zitat:
Finden Sie ausgehend von der Rekursion der Folge xn=Wn(a) eine nichtrekursive Darstellung der Folgegleider xn. Testen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie x4 für a=3 a) rekursiv b) mit Ergebnis aus b) berechnen.

27.04.2007, 12:14

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Nun ja, die Information $\begin{eqnarray*} x_n=W_n(a) \end{eqnarray*}$ war ja wohl doch nicht ganz unwesentlich - oder sollte ich deine Gedanken lesen??? Teufel

Na mach das doch einfach - natürlich nachdem du die explizite Darstellung gewonnen hast.

27.04.2007, 12:28

goldnerbagger

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recht herzlichen Dank für die Hilfe.
Da ich bei diesem Thema noch auf recht wackligen Füssen stehe.
Habe ich W4(x) mit Hilfe der Tschebyschefe Polynome 4. Art erstellt.
8x^3+4x^2-2x-1 und da setze ich 3 ein. Habe ich dies richtig verstanden. Die nichtrekursive Darstellung habe ich noch nicht.

27.04.2007, 12:32

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Tschebyschefe Polynome 4. Art - so nennt man die also?

$\begin{eqnarray*} W_4(x) = 8x^3+4x^2-2x-1 \end{eqnarray*}$ ist aber nicht richtig, da hast du dich vertan.

27.04.2007, 12:35

goldnerbagger

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statt -2x muss -4x stehen.

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