Uneigentliches Integral / Grenzwert

15.12.2004, 18:58	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Uneigentliches Integral / Grenzwert Mahlzeit, habe mal wieder ein Integral, mit dem ich ein kleines Problem habe: Für $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty}x^ne^{-x}dx \end{eqnarray}$ Für n=1,2,3,4 habe ich die Stammfunktion bestimmt und bekam die Vermutung, dass eine Stammfunktion für ein allgemeines n $\begin{eqnarray} F(x)=-e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k} \end{eqnarray}$ ist. Durch Ableiten wurde meine Vermutung bestätigt. Wenn ich nun das Integral ausrechnen will, brauche ich unter anderem den folgenden Grenzwert: $\begin{eqnarray} \lim_{c\rightarrow\infty}(-e^{-c}\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{(n-k)!}c^{n-k}) \end{eqnarray}$ Wenn ich mich nicht täusche, dann ist dieser Grenzwert 0, richtig? Aber wie begründe ich das? Muß ich das nun mit l'Hospital und vollständiger Induktion beweisen? Ich würde kurz und knapp sagen, dass das Ableiten des Polynoms irgendwann einen Konstante wird. Ist zwar nicht wirklich korrekte vollständige Induktion, aber ich finde es einsichtig Oder reicht es zu sagen, dass bei der Anwendung von l'Hospital mit jeder Ableitung das Vorzeichen wechselt (wegen e^(-c) und Polynom mit positiven Koeffizienten)? Oder kann man sagen, dass die e-Funktion schneller fällt, als jedes andere Polynom steigt? Gibt es noch einen anderen Lösungsansatz für die komplette Aufgabe, der möglicherweise schneller zur Lösung führt? Danke schonmal an alle, die sich mit der Aufgabe beschäftigen Gruß Tobi
15.12.2004, 19:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist hier nicht zweckmäßig, eine Stammfunktion zu bestimmen. Einfacher ist es, mit bestimmten Grenzen partiell zu integrieren, eine Rekursionsformel herzuleiten und daraus schließlich induktiv den Wert des Integrals zu ermitteln. Schau hier und in den Folgebeiträgen, wo ein sehr ähnliches Integral behandelt wird.
15.12.2004, 19:55	murray	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Uneigentliches Integral / Grenzwert $\begin{eqnarray} -e^{-x}\cdot \sum_{k=0}^{n}~\frac{n!}{k!}\cdot x^{k}=-\frac{\sum_{k=0}^{n}~\frac{n!}{k!}\cdot x^{k}}{e^{x}}= \end{eqnarray}$ e ^-x durch Taylor-Reihe! $\begin{eqnarray} =n!\cdot \frac{-\sum_{k=0}^{n}~\frac{x^{k}}{k!}}{\sum_{k=0}^{\infty}~\frac{x^{k}}{k!}} \end{eqnarray}$ Man sieht, dass es eine 0-Reihe ist für x-> unendlich! mfg
15.12.2004, 20:14	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antworten. Jetzt weiß ich auch, dass ich mich nicht verrechnet habe erleichtert bin. Und die Lösung von Leopold gefällt mir ausgesprochen gut und ist bedeutend kürzer
15.12.2004, 20:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Im übrigen braucht man für $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \operatorname{e}^{-x} x^n = 0 \end{eqnarray}$ nicht jedes Mal L'Hospital bemühen, sondern kann sich das einmal (z.B. mit L'Hospital) herleiten und dann als unverrückbare Tatsache akzeptieren. Und dann folgt daraus auch sofort durch Anwendung von Grenzwertregeln für jede ganzrationale Funktion $\begin{eqnarray} p(x) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \operatorname{e}^{-x} p(x) = 0 \end{eqnarray}$ Ein erneutes Anwenden von L'Hospital ist also überflüssig.
15.12.2004, 22:09	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben das bisher nicht so direkt hergeleitet. Deswegen war ich mir auch unsicher. Danke, dass du meine Vermutung bestätigt hast.
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