Umfrage

27.04.2007, 13:48

Radzo

Umfrage

Hi und hier mein 2tes Problem... smile

Es geht um eine Umfrage einer Partei für die nächste Wahl.
Der Schätzwert soll nicht mehr als 2% von späteren tatächlichen
Ergebnis abweichen und das mit einer Sicherheit von 90%

Ich habe als erstes

$\begin{eqnarray*} P(np-0,02 \leq X \leq np+0,02)\leq 0,9 \end{eqnarray*}$

danach bestimmt ich das z (z ist bei mir der Wert den ich in der Tabelle
für Normalverteilung nachschlage...bei manchen steht da für z auch x)

über die c-Sigma-Umgebung bekomm ich für 0.9 = 1,64 für z

eingesetzt in

$\begin{eqnarray*} z=\frac{k-E(x)}{\sqrt{n*p*(1-p)} } \end{eqnarray*}$ komm ich auf n= 1681

danke fürs drüber gucken

27.04.2007, 20:51

bil

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RE: Umfrage

Zitat:

Original von Radzo
i und hier mein 2tes Problem... smile

$\begin{eqnarray*} P(np-0,02 \leq X \leq np+0,02)\leq 0,9 \end{eqnarray*}$

das wird nicht ganz stimmen. +-0.02 bedeutet nicht 2% abweichung vom mittelwert. und man würde $\begin{eqnarray*} \geq 0.9 \end{eqnarray*}$ betrachten

du solltest vll auch mal lieber die ganze aufgabenstellung genau aufschreiben, es fehlen nämlich paar daten Augenzwinkern

gruss bil

28.04.2007, 12:00

Radzo

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die aufgabe war aus dem unterricht und wir mussten am ende schnell
stichpunktartig mitschreiben aber meiner meinung nach ist die aufgabe
komplett! ich frag aber am besten nochmal nach!

28.04.2007, 12:36

bil

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was ist denn bei dir p?

28.04.2007, 15:47

Zahlenschubser

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Radzo, die gleiche Diskussion hatten wir auch gerade?!?

28.04.2007, 17:37

Radzo

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also hier hab ich ein ähnliches beispiel aus dem unterricht
mit kompletter aufgabenstellung

Eine Partei möchte wissen, welcher Anteil p der Wähler ihrer Politik zustimmt.
Der anteil p soll auf +- 0,02 genau geschätzt werden. Dazu wird eine Stichprobe
von n Personen befragt, der Anteil der Personen, die sich zustimmend äußern,
dient als Schätzwertfür p. Man bezeichnet diesen Schätzwer mit p^ (Dach
soll über dem p sein). Die Sicherheit dafür, dass die Abweichung des
Schätzwertes von exakten Wert nicht mehr als 0,02 abweicht soll mindestens
90% betragen. Wie groß muss n gewählt werden, um die Vorgaben zu
erfüllen.

Ich habe diese Aufgabe genau so gelöst wie ich es oben beschrieben habe.
p als Wahrscheinlichkeit habe ich nicht aber wenn man die Formel von z betrachtet also:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{k-E(x)}{\sqrt{n*p*(1-p)} } \end{eqnarray*}$

und alles einsetzt kommt man doch auf

$\begin{eqnarray*} z=\frac{(n*p+0,02n) - n*p }{\sqrt{n*p*(1-p)} } \end{eqnarray*}$

desweiteren kann ich über p*(1-p) sagen, dass dieser Wert nicht
größer als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ werden kann. Das hab ich über die 1. Ableitung
rausbekommen. Dann verändert sich doch meine Formel von z zu

$\begin{eqnarray*} z=\frac{0,02n}{\sqrt{\frac{1}{4}n} } \end{eqnarray*}$

Danach kann ich mit z=1,64 n einfach ausrechnen!!

29.04.2007, 14:55

Zahlenschubser

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Ok, damit bin ich einverstanden. Dann ist deine Abschätzung aber eine absolute Obergrenze, da du die Varianz, das ist nämlich $\begin{eqnarray*} p(1-p) \end{eqnarray*}$ , maximal abschätzt. Dies wäre richtig für den Fall $\begin{eqnarray*} p=0,5 \end{eqnarray*}$ . Wenn allerdings absolut keine Vorinformationen vorliegen, ist das eine legitime Herangehensweise.

29.04.2007, 17:57

Radzo

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ok genau... smile

ich muss zugeben ich hätte mich auch gleich so ausdrücken
können. Hätte es einfacher gemacht! danke!!

dann müsste doch aber auch meine eigentliche Aufgabe
stimmen oder nicht?!

29.04.2007, 19:00

Zahlenschubser

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RE: Umfrage
Also irgendwie kann ich mit deinen Formeln trotzdem nichts anfangen. Ich muss Arthur schon recht geben, gerade in Mathematik lässt sich alles mit den richtigen Begriffen und Darstellungen so eindeutig beschreiben, dass keine Missverständnisse auftreten...

Sei $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ der Grundgesamtheitsanteilswert, den es zu schätzen gilt und $\begin{eqnarray*} \Delta \theta \end{eqnarray*}$ der absolute Fehler, der dabei begangen werden darf. (An dieser Stelle müsstest du dich übrigens mal entscheiden, ob 0,02 oder 2% - das ist nicht dasselbe!) Dann gilt bei ausreichend großem Stichprobenumfang (Normalverteilung und Ziehen mit Zurücklegen): $\begin{eqnarray*} \Delta \theta = z \sigma = z \sqrt{\frac{\theta (1 - \theta)}{n}} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} 1-\frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ -Wert der Standardnormalverteilung ist. Auflösen nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ liefert die Formel für den notwendigen Stichprobenumfang: $\begin{eqnarray*} n \geq \frac{z^2 \theta (1 - \theta)}{(\Delta \theta)^2} \end{eqnarray*}$ .

Deine Werte: $\begin{eqnarray*} \Delta \theta = 0,02 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z \approx 1,6445 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \theta (1 - \theta) = 0,25 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n \geq 1.691 \end{eqnarray*}$ .

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