Metrischer Raum

27.04.2007, 15:06	Ema	Auf diesen Beitrag antworten »
Metrischer Raum Ahoi. Ich soll zeigen, dass eine Folge eine Cauchy Folge in $\begin{eqnarray} (V,\|\|x\|\|_1) \end{eqnarray}$ ist wenn auch die Gleiche folge eine Cauchy Folge in $\begin{eqnarray} (V,\|\|x\|\|_2) \end{eqnarray}$ is. Ich weis nur das für Konvergenz gilt $\begin{eqnarray} \|\|x_k,x_m\|\|<e \end{eqnarray}$ Also haben wir $\begin{eqnarray} \|\|x_k,x_m\|\|_1<e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\|x_k,x_m\|\|_2<e \end{eqnarray}$ Mit der Definition für die Norm haben wir $\begin{eqnarray} \|x_k-x_m\|<e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\sqrt{(x_k-x_m)^2}\|<e \end{eqnarray}$ Völlig falscher weg oder?
27.04.2007, 15:40	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrischer Raum Ist $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ endlich dimensional?
27.04.2007, 17:39	Ema	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} V = IR^n \end{eqnarray}$ Wusste nicht, dass das etwas ändert.
27.04.2007, 19:58	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon, denn alle Normen auf dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ sind äquivalent, d.h. es gibt insebsondere ein $\begin{eqnarray} c\in\mathbb R^+ \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \\|x\\|_2\leq c\\|x\\|_1~\forall x\in\mathbb R^n \end{eqnarray}$ , womit du eigentlich fertig bist, vorausgesetzt du darfst das verwenden.
27.04.2007, 20:06	Ema	Auf diesen Beitrag antworten »
Hoi. Aber wieso bin ich dann schon fertig? Wegen der Äquivalenz?
27.04.2007, 20:08	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil du dann mit $\begin{eqnarray} c\varepsilon := \varepsilon_2 \end{eqnarray}$ die Cauchyfolgeneigenschaft übertragen kannst.
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27.04.2007, 20:10	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du $\begin{eqnarray} \\|x_k-x_m\\|_1 \end{eqnarray}$ kleiner als $\begin{eqnarray} \varepsilon/c \end{eqnarray}$ machst, ist $\begin{eqnarray} \\|x_k-x_m\\|_2 \end{eqnarray}$ kleiner als $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ . Wie in den Standardbeweisen zu Folgenkonvergenz in der Analysis I.

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