ausgleichsgerade

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27.04.2007, 16:21	jkb	Auf diesen Beitrag antworten »
ausgleichsgerade Hallöchen, ich habe ein Problem mit der Aufgabe 4. Wäre super, wenn ihr mir helfen könntet. Aufgabe findet ihr hier: http://home.mathematik.uni-freiburg.de/a...II07/serie2.pdf ich weiß, dass ich für die Existenz von dem Ding ziegen muss, dass die Fkt. stetig ist. Das ist allerdings schon mein 1. Problem. Und dann hab ich mir überlegt, dass ich die Fkt einmal ableite, also einmal nach a und einmal nach b und dann addiere und davon dann das min bestimme und das der Pkt sein müsste. Stimmt das?! Wenn ja: ich hab die ableitung hinbekommen und weiß aber nicht, wie ich jetzt das min davon bestimmen soll! wenn nein: ahhhhhhhhhhhhhhh! Vielen Dank schon mal im Voraus. Julia
27.04.2007, 19:32	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ausgleichsgerade Du müsstest die Extremwerte berechnen, denke ich. Dafür kennst du bestimmt ein Verfahren. Auch weißt du einiges über quadratische Polynome. Postel mal deine Rechnung/Überlegungen. Grüße Abakus
28.04.2007, 12:52	jkb	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ausgleichsgerade öhm, ich hab keine ahnung, wie das gehen soll mit den extremwerten. hast du nen vorschlag wie das gehen soll, also, was für ein verfahren ich da anweden könnte, vllt. kenn ich das ja und steh nur auf dem schlauch Grüße, julia
28.04.2007, 16:43	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ausgleichsgerade Dann berechne doch mal die Ableitung nach a und b und setze die Null. Was kriegst du dann ? Grüße Abakus
30.04.2007, 15:45	tesuji	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, notwendige Bedingung für ein Minimum ist, dass die ersten Ableitungen von f(a,b) nach a bzw. b gleich 0 sind. Also leite deine quadratische Form nach a und b ab. Dann erhältst du ein LGS für a und b, z.B. die erste Gleichung für b: $\begin{eqnarray} <br /> f(a,b) = \sum_{k=1}^n~(a\cdot x_k + b - y_k)^{2} \\<br /> \frac{df(a,b)}{da} = \sum_{k=1}^n~2(a\cdot x_k + b - y_k) \cdot x_k = 0 \\<br /> \sum_{k=1}^n~2(a\cdot {x_k}^2 + b \cdot x_k - y_k \cdot x_k) = 0 \\<br /> a\cdot \sum_{k=1}^n~{x_k}^2 + b\cdot \sum_{k=1}^n~x_k = \sum_{k=1}^n~y_k \cdot x_k \end{eqnarray}$ ????????????????????????????????????? wie kann ich die < br / > ausschalten? ????????????????????????????????????? Die zweite Gleichung erhältst du mit der Ableitung nach a. Die Gleichungen nennt man Normalgleichungen (Gauß). Für deinen Beweis, dass eine Lösung existiert, reichen die Normalgleichungen, vielleicht noch: die Koeffizientenmatrix ist positiv definit und symmetrisch. Da diese Matrix jedoch schlecht konditioniert ist, löst man die Aufgabe in der Praxis nicht über Normalgleichungen (oder über die Pseudoinverse), sondern z.B. mittels Householder- oder Givenstransformation. vg. tesuji
30.04.2007, 18:14	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Hier ist der Fall der linearen Einfachregression verlangt. Warum die Koeffizientenmatrix (Vektor!) positiv definit oder symmetrisch sein soll, ist mir absolut schleierhaft... (Demnach müsste es nur positive Steigungen und Achsenabschnitte geben? Und wie soll ein Vektor symmetrisch sein?) Allerdings gibt es auch Fälle, in denen keine (eindeutige) Lösung existiert, nämlich im Fall der linearen Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ (als Vektor). Die $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ steht nämlich implizit hinter dem $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Mein Vorschlag: Jedes Statistik-Anfängerbuch enthält die Lösung hierzu mit Rechenweg...
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30.04.2007, 18:43	nexperty	Auf diesen Beitrag antworten »
o schubser, da hast dich weggeschubbst
01.05.2007, 00:18	tesuji	Auf diesen Beitrag antworten »
omg Zahlenschubser selten so gelacht !!!!!
02.05.2007, 00:30	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die sachliche und intelligente Kritik. Dann erklär es mir bitte. $\begin{eqnarray} f(a,b)=\sum_{k=1}^N(ax_k+b-y_k)^2\rightarrow\text{Min.!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial f(a,b)}{\partial a}=\sum_{k=1}^N 2(ax_k+b-y_k)x_k=0\Leftrightarrow a\sum_{k=1}^N x_k^2+b\sum_{k=1}^N x_k=\sum_{k=1}^N x_ky_k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial f(a,b)}{\partial b}=\sum_{k=1}^N 2(ax_k+b-y_k)=0\Leftrightarrow a\sum_{k=1}^N x_k+bN=\sum_{k=1}^N y_k \end{eqnarray}$ Ok, das sind die Normalgleichungen nach Gauß. Ich denke soweit stimmen wir überein? Wozu sind die da? Um eine Regressionsgerade durch eine Punktwolke von Daten $\begin{eqnarray} (x_k,y_k) \end{eqnarray}$ zu legen, die die Quadratsumme der Residuen minimiert. Nun korrigier mich bitte (ich habe nicht Mathe studiert!), aber die Frage ist nach der Existenz von $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ ?! Das heißt meines Erachtens, unter welchen Umständen ist das obige Gleichungssystem wie lösbar. Im Analysis-Forum würde ich die geschlossene analytische Lösung erwarten und keinen numerischen Algorithmus. Wenn man sich die Mühe macht, erhält man: $\begin{eqnarray} a=\frac{\sum_{k=1}^N (x_k-\bar x)(y_k-\bar y)}{\sum_{k=1}^N(x_k-\bar x)^2}=\frac{\text{cov}(x,y)}{\text{var}(x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=\bar y-a\bar x \end{eqnarray}$ Lösbarkeit setzt also die Positivität der Varianz von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ voraus. Wenn nun aber $\begin{eqnarray} x_k=1\forall k \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \text{var}(x)=0 \end{eqnarray}$ . Und positive Definitheit und Symmetrie erkenne ich beim besten Willen nicht... Alles in allem, Statistik für Anfänger. Wo liegt mein Fehler?

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