Integralberechnung - Seite 2

06.01.2005, 21:06

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \int_1^5 lnx\sqrt{1+lnx}~\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=1+lnx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=\frac{1}{x}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=xdu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^{\frac{1}{5}} (u-1)\sqrt{u}~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^{\frac{1}{5}} u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}}~du=[\frac{2x^{2.5}}{5}]_0^{1/5}-[\frac{2x^{1.5}}{3}]_0^{1/5}=\frac{2*(1.5)^{2.5}}{5}-\frac{2*(1.5)^{1.5}}{3}=-0.1225 \end{eqnarray*}$

irgendwo stimmt was nicht da das integral negativ ist.

06.01.2005, 21:17

rad238

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Aha, ich habe nich schon gewundert, wie Du auf so komische Grenzen kommst. Die Grenze a geht beispielweise nach der Substitution über nach

a -> u(x=a) = u(x).

Also hier:
$\begin{eqnarray*} \int_1^5 lnx\sqrt{1+lnx}~\frac{dx}{x} = \int_1^{1+ln(5)} (u-1)\sqrt{u}~du \end{eqnarray*}$

Meistens hast Du das aber richtig gemacht. Hammer

Hammer

06.01.2005, 21:28

Anaiwa

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Stimmt habe die ganze zeit nach du gescheit also:

$\begin{eqnarray*} \int_1^5 lnx\sqrt{1+lnx}~\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=1+lnx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=\frac{1}{x}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=xdu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^{1+ln5} (u-1)\sqrt{u}~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^{1+ln5} u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}}~du=[\frac{2x^{2.5}}{5}]_0^{1+ln5}-[\frac{2x^{1.5}}{3}]_0^{1+ln5}=(\frac{2*(1+ln5)^{2.5}}{5}-\frac{2*(1)^{2.5}}{5})-(\frac{2*(1+ln5)^{1.5}}{3}-\frac{2*(1)^{1.5}}{3})=-0.447 \end{eqnarray*}$

mhh immer noch negantiv ^^

2)

$\begin{eqnarray*} \int g'(x)(g(x))^n~dx=g(x)^n+C \end{eqnarray*}$

3)

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{10}x^3*\sqrt{4+x^4}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{5}^{10004}x^3*\frac{\sqrt{u}}{4x^3}~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{5}^{10004}\frac{\sqrt{u}}{4}~du=[\frac{\sqrt{u^3}}{2}]_5^{10004}=\frac{\sqrt{10004^3}}{2}-\frac{\sqrt{5^3}}{2}=500294.4 \end{eqnarray*}$

3)

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2-1}{x^3-3x+1}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2-1}{u}~\frac{du}{3x^2-3}=\int\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{3}~du=\frac{1}{3}ln|(4+x^4)|+C \end{eqnarray*}$

06.01.2005, 21:50

rad238

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} \int_1^{1+ln5} u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}}~du=[\frac{2x^{2.5}}{5}]_0^{1+ln5}-[\frac{2x^{1.5}}{3}]_0^{1+ln5}=(\frac{2*(1+ln5)^{2.5}}{5}-\frac{2*(1)^{2.5}}{5})-(\frac{2*(1+ln5)^{1.5}}{3}-\frac{2*(1)^{1.5}}{3})=-0.447 \end{eqnarray*}$

[....]

$\begin{eqnarray*} \int g'(x)(g(x))^n~dx=g(x)^n+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^{1+ln5} u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}}~du=[\frac{2x^{2.5}}{5}]_0^{1+ln5}-[\frac{2x^{1.5}}{3}]_0^{1+ln5}=(\frac{2*(1+ln5)^{2.5}}{5}-\frac{2*(1)^{2.5}}{5})-(\frac{2*(1+ln5)^{1.5}}{3}-\frac{2*(1)^{1.5}}{3})=1.8563 \end{eqnarray*}$

das ist pos.

[.....]

$\begin{eqnarray*} \int g'(x)(g(x))^n~dx=\frac{1}{n+1} \cdot g(x)^{n+1}+C \end{eqnarray*}$

Tanzen

Tanzen

07.01.2005, 22:17

Anaiwa

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So nun kommt die letzte der Integrationsaufgaben für das Blatt^^

$\begin{eqnarray*} \int x^{3a}(4x^a+1)^{5/7}~\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=x^{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=ax^{a-1}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{ax^{a-1}}*x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{a*1^{a-1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int u(4u^a+1)^{5/7}~\frac{du}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int ua(4u^a+1)^{5/7}~du \end{eqnarray*}$

mhh?

mit x^3a siehts nicht anders aus, komm auf kein ergbenis

07.01.2005, 22:30

rad238

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} du=ax^{a-1}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{ax^{a-1}}*x \end{eqnarray*}$

Wo kommt das x am Ende her?
Und selbst wenn da ein x wäre, dann kannst Du das nicht so

Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{ax^{a-1}}*x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{a*1^{a-1}} \end{eqnarray*}$

wegkürzebn! Nein, $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^{n-1}} = \frac{1}{x^{n-2}} \end{eqnarray*}$ .

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07.01.2005, 22:32

Anaiwa

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die gleichung lautet

$\begin{eqnarray*} \int x^{3a}(4x^a+1)^{5/7}~\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

unter dem dx steht ein x daher mal x

07.01.2005, 22:45

rad238

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Zitat:

Original von Anaiwa
die gleichung lautet

$\begin{eqnarray*} \int x^{3a}(4x^a+1)^{5/7}~\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

unter dem dx steht ein x daher mal x

Diese Argumentation kann ich jetzt nicht nachvollzihen...
Aber egal.... hmm...

Also:

$\begin{eqnarray*} \int x^{3a}(4x^a+1)^{5/7}~\frac{dx}{x} = \int x^{3a}(4x^a+1)^{5/7} \frac{1}{x} ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=x^a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{a\cdot x^{a-1}} \end{eqnarray*}$

Setz das mal ein, dann wird das Integral ganz einfach.

noch ein Tipp:

$\begin{eqnarray*} x^{3a} = (x^a)^3 \end{eqnarray*}$

07.01.2005, 22:49

Mathespezialschüler

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@Anaiwa
Was du da machst, ist völlig sinnlos. Wie kann man denn anfangen Integrale lösen zu wollen, wenn man glaubt, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^{a-1}}=\frac{1}{1^{a-1}} \end{eqnarray*}$

Vielleicht solltest du erstmal ein paar Grundlagen üben. Du versuchst hier die ganze Zeit, irgendwelche Integrale zu lösen und, so ist mein Eindruck, rätst mehr oder weniger die ganze Zeit nur rum und wendest irgendwelche Formeln, die du gar nicht verstehst. Ich glaub, das kanns nich sein, das bringt dich nicht weiter. unglücklich

unglücklich

07.01.2005, 23:00

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \int x^{3a}(4x^a+1)^{5/7}~\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=x^a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=ax^{a-1}\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{ax^{a-1}}=\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int u^3(4u+1)^{5/7}~\frac{du}{ax^{a-1}} \end{eqnarray*}$

darf man schreiben $\begin{eqnarray*} x^{a-1}=u^{-1} \end{eqnarray*}$

07.01.2005, 23:11

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} \int u^3(4u+1)^{5/7}~\frac{du}{ax^{a-1}} \end{eqnarray*}$

darf man schreiben $\begin{eqnarray*} x^{a-1}=u^{-1} \end{eqnarray*}$

Nein, darf man natürlich auf gar keinen Fall!!!!!!!!!!! böse

böse

Sowas meinte ich mit Grundlagen und wenn du das vorher nicht mal wiederholst, dann wird das nichts.

Das dadrüber ist auch schon falsch. Ich glaube, dir wurde schon mehrmals gesagt, dass du, wenn du x irgendwie durch u substituierst, immer alle x durch eine Funktion von u ersetzen musst (die Funktion ergibt sich aus der Substitution) und niemals x und u gleichzeitig im Integral stehen haben darfst!!!

07.01.2005, 23:20

Anaiwa

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Wie du schon sagtest muessen alle x ersetzt werden das kann ich ja in diesem falle nicht.

Das heist entwerder diese Rechenfehler oder Ich muss sie noch mal substituieren.

och ich koennte auch nach a umstellen aber das bringt mich ja wieder nicht weiter.

07.01.2005, 23:28

Mathespezialschüler

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Ohne diese Vorkenntnisse kannst du, wie du selbst siehst, nicht substituieren und somit auch das Integrieren vergessen!
Das Umstellen wäre in diesem Fall ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} x^a=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=u^{\frac{1}{a}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{a-1}=\left(u^{\frac{1}{a}}\right)^{a-1}=u^{\frac{a-1}{a}}=u^{1-\frac{1}{a}} \end{eqnarray*}$

Aber in der Klausur können wir dann nicht helfen und unter anderem auch deswegen brauchst du die Grundlagen.

07.01.2005, 23:36

Anaiwa

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Nachvollziehen kann ich es, aber sows steht nicht im tafelwerk deshalb wuste ich es nicht.
Dank dir das wird mic wieder bereichern mit potenzen zu rechnen.

$\begin{eqnarray*} \int u^3(4u+1)^{5/7}~\frac{du}{au^{1-\frac{1}{a}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int au^{1-\frac{1}{a}}* u^3(4u+1)^{5/7}~du \end{eqnarray*}$

wenn ich nun nicht täusche würde man das nach diesem gesetz zusammenfassen $\begin{eqnarray*} a^m*a^n=a^{m+n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int au^{3-\frac{1}{a}}*(4u+1)^{5/7}~du \end{eqnarray*}$

08.01.2005, 15:34

Mathespezialschüler

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Es geht doch nicht darum, was im Tafelwerk steht, sondern was in deinem Kopf steht! Natürlich steht so etwas nicht im Tafelwerk, das ist ja ein Umformungsweg. Im Tafelwerk stehen nur Formeln. Vielleicht hast du noch nich ganz verstanden, warum du das machst?! Du machst das ja nicht, um nur alles aus dem Tafelwerk abzuschreiben, sondern um was zu lernen. In der Klausur kannst du auch nicht sagen: "Das stand aber nicht im Tafelwerk!".

Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} \int x^{3a}(4x^a+1)^{5/7}~\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=x^a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=ax^{a-1}\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{ax^{a-1}}=\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int u^3(4u+1)^{5/7}~\frac{du}{ax^{a-1}} \end{eqnarray*}$

Schon das ist falsch! Beim $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ hast du was falsch gemacht. Wenn man $\begin{eqnarray*} u=g(x) \end{eqnarray*}$ substituiert und man kann $\begin{eqnarray*} g'(x)~dx \end{eqnarray*}$ im Integral nicht direkt durch $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ ersetzen, dann macht man es eigentlich so, dass man erst umstellt: $\begin{eqnarray*} x=g^{-1}(u) \end{eqnarray*}$ , dann ableitet $\begin{eqnarray*} dx=\left(g^{-1}(u)\right)'~du \end{eqnarray*}$ und die rechte Seite für u einsetzt. Also in deinem Fall:

$\begin{eqnarray*} u=x^a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=u^{\frac{1}{a}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{a}u^{\frac{1}{a}-1}~du \end{eqnarray*}$

und das dann einsetzt:

$\begin{eqnarray*} \int x^{3a}(4x^a+1)^{5/7}~\frac{dx}{x}=\int u^3(4u+1)^{\frac{5}{7}}~\frac{\frac{1}{a}u^{\frac{1}{a}-1}~du}{u^{\frac{1}{a}}} \end{eqnarray*}$

Kannst ja mal mit deinem Zwischenergebnis vergleichen und dann deine Fehler versuchen, mal selbst zu finden.

08.01.2005, 19:23

PSM

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} \int_{5}^{10004}\frac{\sqrt{u}}{4}~du=[\frac{\sqrt{u^3}}{2}]_5^{10004}=\frac{\sqrt{10004^3}}{2}-\frac{\sqrt{5^3}}{2}=500294.4 \end{eqnarray*}$

Das stimmt leider nicht. unglücklich

unglücklich

Du hast zwar richtig substituiert, aber das Auflösen des Integrals ist nicht richtig. Tipp: sqrt(u)=u^0,5

Grüße.

09.01.2005, 16:13

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \int_{5}^{10004}\frac{\sqrt{u}}{4}~du=[\frac{\sqrt{u^3}}{6}]_5^{10004}=\frac{\sqrt{10004^3}}{6}-\frac{\sqrt{5^3}}{6}=166764.81 \end{eqnarray*}$

Habs nachrechnen lass und es muesten nun stimmen ^^.

$\begin{eqnarray*} \int x^{3a}(4x^a+1)^{5/7}~\frac{dx}{x}=\int u^3(4u+1)^{\frac{5}{7}}~\frac{\frac{1}{a}u^{\frac{1}{a}-1}~du}{u^{\frac{1}{a}}} \end{eqnarray*}$

Habe nachgerechnet und bin nun auch zu deinem ergebnis gekommen. Kann mann das nun nich vereinfachen zu:

$\begin{eqnarray*} \int u^3(4u+1)^{\frac{5}{7}}~\frac{\frac{1}{a}u^{\frac{1}{a}-1}~du}{u^{\frac{1}{a}}}=\int u^3(4u+1)^{\frac{5}{7}}~\frac{1}{a}u^{-1}~du=\int \frac{u^2}{a}(4u+1)^{\frac{5}{7}}~~du \end{eqnarray*}$

??????????????

09.01.2005, 16:18

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Anaiwa
Kann mann das nun nich vereinfachen zu:

$\begin{eqnarray*} \int u^3(4u+1)^{\frac{5}{7}}~\frac{\frac{1}{a}u^{\frac{1}{a}-1}~du}{u^{\frac{1}{a}}}=\int u^3(4u+1)^{\frac{5}{7}}~\frac{1}{a}u^{-1}~du=\int \frac{u^2}{a}(4u+1)^{\frac{5}{7}}~~du \end{eqnarray*}$

??????????????

Ja, kann man.

09.01.2005, 17:09

Anaiwa

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So weits o gut nun hab ich bersucht das it der partiellintegration zu loesen geht nicht!

Soll ich das nun nocheinmal substituieren, so das ich aufs ergebnis komm?

09.01.2005, 17:27

Mathespezialschüler

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Eigentlich sollte das mit (zweimaliger) partieller Integration gehen.

09.01.2005, 18:11

PSM

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} \int_{5}^{10004}\frac{\sqrt{u}}{4}~du=[\frac{\sqrt{u^3}}{6}]_5^{10004}=\frac{\sqrt{10004^3}}{6}-\frac{\sqrt{5^3}}{6}=166764.81 \end{eqnarray*}$

Habs nachrechnen lass und es muesten nun stimmen ^^.

Hab ich auch raus. smile

smile

Grüße.

09.01.2005, 18:14

Anaiwa

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Sieht ein bisdel komisch aus aber nagut mal sehn

$\begin{eqnarray*} [...]=\frac{u^2}{48a}(4u+)^{\frac{12}{7}}-\frac{98u}{3648a}(4u+1)^{\frac{19}{7}}-\int\frac{98}{3648a}(4u+1)^{\frac{19}{7}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [...]=\frac{u^2}{48a}(4u+1)^{\frac{12}{7}}-\frac{98u}{3648a}(4u+1)^{\frac{19}{7}}-ln|3648a|*(98(4u+1)^{\frac{19}{7}})+C \end{eqnarray*}$

09.01.2005, 18:21

Mathespezialschüler

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Die zweite Zeile ist auf jeden Fall falsch, du musst doch das letzte Integral rechts auch noch nach u und nicht nach a integrieren.

09.01.2005, 18:25

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{3648a}*98(4u+1)^{\frac{19}{7}} \end{eqnarray*}$
ist das erstmal falsch abgeleitet von zweiten term?

wenn ja muss ich nochmal rechnen

09.01.2005, 18:31

Mathespezialschüler

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Könntest du dir endlich mal bitte angwöhnen, Term und nicht T...erm zu schreiben!! Das is ja eklig, gar nicht anzuschauen, ich kann echt nicht hingucken. böse

böse

Also mMn ist dein erster Summand schon falsch, der 2. dann aber wieder richtig verwirrt

verwirrt

Hast du beim ersten nur eine 7 vergessen?
Da müsste nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{7u^2}{48a}(4u+1)^{\frac{12}{7}} \end{eqnarray*}$ stehen, wenn du die 7 dahin setzt und die 1 hinter das + bei dir, dann ist die 1. Zeile komplett richtig!!!
Du kannst aber beim 2. und 3. Summanden mit 2 kürzen!

09.01.2005, 18:51

Anaiwa

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j auf meinen zettel steht auch die 7

$\begin{eqnarray*} [...]=\frac{7u^2}{48a}(4u+1)^{\frac{12}{7}}-\frac{98u}{3648a}(4u+1)^{\frac{19}{7}}-\int\frac{98}{3648a}(4u+1)^{\frac{19}{7}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [...]=\frac{7u^2}{48a}(4u+1)^{\frac{12}{7}}-\frac{49u}{1824a}(4u+1)^{\frac{19}{7}}-\int\frac{49}{1824a}(4u+1)^{\frac{19}{7}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [...]=\frac{7u^2}{48a}(4u+1)^{\frac{12}{7}}-\frac{49u}{1824a}(4u+1)^{\frac{19}{7}}-\frac{343*(4u+1)^{\frac{25}{7}}}{182400a} \end{eqnarray*}$

09.01.2005, 19:03

Mathespezialschüler

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Bei mir ist $\begin{eqnarray*} \int\frac{49}{1824a}(4u+1)^{\frac{19}{7}}~du=\frac{343}{1824\cdot 26\cdot 4a}(4u+1)^{\frac{26}{7}}=\frac{343}{189696a}(4u+1)^{\frac{26}{7}} \end{eqnarray*}$

09.01.2005, 19:14

Anaiwa

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stimmt Schuldigung hab mich verrechnet.

$\begin{eqnarray*} \int x^{3a}(4x^a+1)^{5/7}~\frac{dx}{x}=\frac{7x^{2a}}{48a}(4x^a+1)^{\frac{12}{7}}-\frac{49x^a}{1824a}(4x^a+1)^{\frac{19}{7}}-\frac{343*(4x^a+1)^{\frac{25}{7}}}{189696a} \end{eqnarray*}$

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