Menge von Polynomen als Vektorraum

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27.04.2007, 20:32	bip	Auf diesen Beitrag antworten »
Menge von Polynomen als Vektorraum Eine menge von Polynomen endlichen grades ist ja als ein Vektorraum definiert. Wie hat man das vorzustellen? Was sind die Elemente (Vektoren) eines solchen Vektorraumes, wie schreibt man sie hin? Und noch etwas: was ist primär für die Dimension des Vektorraums entscheidend -- die Zahl der Basisvektoren oder die Anzahl der Vektorkoordinaten?
27.04.2007, 22:54	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Einträge des Vektors kannst du dir als die Koeffizienten des Polynoms vorstellen(nicht nur vorstellen ist auch so ). Normale Schreibweise eines Vektors dann also. Für die Dimension des Vektorraums ist einzig die Anzahl der Basisvektoren entscheident.
28.04.2007, 01:26	bip	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wie jetzt? Ich schreibe einfach die Koeffizenten eines polynoms in eine Spalte und nenne das einen Vektor aus dem Vektorraum eines Polynoms? Ich blicke im Moment gar nicht durch, wäre nett, wenn jemand das genauer erklären könnte...
28.04.2007, 01:53	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Du nennst es Element aus dem Vektorraum der Polynome n-ten Grades. $\begin{eqnarray} f(x)=4x^5+2x^3-9x+6 \end{eqnarray}$ würde z.B. als Element des 7-dimensionalen Vektorraumes so aussehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ -9 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da Vektoren nur eine Gruppe bilden müssen und nicht miteinander multiplizierbar sein brauchen, ist jede natürliche Potenz von x eine mögliche Basis, z.B. hier. $\begin{eqnarray} \{ 1; x; x^2; x^3; x^4; x^5; x^6 \} \end{eqnarray}$
28.04.2007, 12:07	bip	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre z.B. demnach eine Potenz von x ein Basisvektor des Vektorraumes der Polynome n-ten Grades? Ich vertehe Basisvektoren im Moment als Vektoren, über den man jedes Element des Vektorraumes darstellen kann, im Falle des Polynoms also jedes Polynom. Und wieso ein Element (also ein vektor) des Vektorraumes der Polynome aus Koeffizenten der einzelnen Summanden des Polynoms besteht, verstehe ich nicht... :-(
28.04.2007, 20:31	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
du kennst das ja so: sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein vektorraum und $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ , dann hat dieses $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ die darstellung $\begin{eqnarray} v=a_1w_1+...+a_n+w_n \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} B=(w_1,...,w_n) \end{eqnarray}$ eine basis ist (also der vektorraum die dimension $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ hat.) wie man leicht bemerkt, ist ein polynom durch ebendiese koeffizienten bestimmt. wählt man also nun die a's entsprechend der koeffizienten und wählt man $\begin{eqnarray} B=(1,x,x^2,x^3,x^4,x^5) \end{eqnarray}$ als basis, so kann man das schon erwähnt polynom schreiben aus den basisvektoren (die jetzt jeweils auch ein "kleines" polynom, nämlich zb. $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ sind): $\begin{eqnarray} f(x)=4x^5+2x^3+0x^2-9x+6\cdot 1 \end{eqnarray}$ damit hat das polynom $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ (oder ebendieser vektor $\begin{eqnarray} f\in V \end{eqnarray}$ ) die koordinaten: $\begin{eqnarray} f=(6,-9,0,2,4) \end{eqnarray}$ die anzahl von basisvektoren ergibt die dimension des vektorraums. da sie 6 basisvektoren enthält, gilt $\begin{eqnarray} \dim V=6 \end{eqnarray}$
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28.04.2007, 21:23	bip	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann denn die Basis des Vektorraumes der Polynome so aussehen: B= (1; 1+x ; 1+x+x^2 ; 1+x+x^2+x^3) ?
28.04.2007, 21:33	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
beantworte dir die frage selbst: was charakterisiert eine basis? mit den basisvektoren kann man den GANZEN vektorraum erzeugen, das heisst alle möglichen linearkombinationen können mit den basisvektoren gebildet werden, in zeichen mit deinem beispiel: $\begin{eqnarray} span<1,1+x,1+x+x^2,1+x+x^2+x^3>=V \end{eqnarray}$ ausserdem müssen die basisvektoren linear unabhängig sein, das bedeutet es muss gelten (nach deinem beispiel): $\begin{eqnarray} a_1\cdot 1+a_2\cdot(1+x)+a_3\cdot(1+x+x^2)+a_4\cdot(1+x+x^2+x^3)=0 \end{eqnarray}$ nur (und wirklich nur dann!!) erfüllt für $\begin{eqnarray} a_1=a_2=a_3=a_4=0 \end{eqnarray}$
29.04.2007, 10:42	bip	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach einem kleinen Koeffizentenvergleich, würde ich sagen, die Vektoren sind unabhüngig und man kann mit ihnen jedes Polynom bis zum Grad 3 darstellen. Ergo bilden sie eine Basis.
29.04.2007, 13:52	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Überlegung ist richtig. Genau genommen ist es eine Basis des Vektorraumes der Polynome bis zum Grad 3. Und da man solche Themen eher an der Hochschule behandelt, wird es * verschoben *

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