Primzahl Konstruktion

16.12.2004, 09:11	klaus1	Auf diesen Beitrag antworten »
Primzahl Konstruktion Man sollte mit $\begin{eqnarray} 2^{a}-1 \end{eqnarray}$ zeigen dass das Ergebnis wieder eine Primzahl ist, wenn die hochzahl eine Primzahl ist. Hinweis: Angenommen a läßt sich als Produkt schreiben, d.h a = p * q Versuchen Sie mit der Annahme $\begin{eqnarray} 2^{a}-1 \end{eqnarray}$ in ein Produkt zu zerlegen. (Über Formel der geometrischen Reihe). Kann mir da irgend jemand behilflich sein? DANKE im Voraus! MFG Klaus
16.12.2004, 10:17	eule	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Primzahl Konstruktion Ist schlicht und einfach falsch. $\begin{eqnarray} 2^{11}-1=2047=8923 \end{eqnarray*}$ Was man zeigen kann ist dass wenn 2^p-1 prim ist, p auch prim sein muß.
16.12.2004, 10:21	klaus1	Auf diesen Beitrag antworten »
ups.. ja stimmt... wie kann ich das dann zeigen? MFG
16.12.2004, 10:57	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Primzahl Konstruktion zu zeigen ist allerdings: 2^n -1 ist HÖCHSTENS dann eine primzahl, wenn n prim ist! mit dem satz: $\begin{eqnarray} \forall x\in \mathbb N \; mit\; x>1 \;und \;\forall n\in \mathbb N \; gilt\;x-1\mid x^{n} -1 \end{eqnarray}$ beweis: die zahl x läßt bei division durch x - 1 den rest 1; also läßt x^n bei division durch x -1 denselben rest wie 1^n, nämlich 1. daher ist $\begin{eqnarray} x^{n} = v(x-1)+1 \; mit\; v\in \mathbb N \; also \; x^{n} -1=v(x-1) \end{eqnarray}$ folgt mit alpha=pq: $\begin{eqnarray} (2^{p})^{q} -1 \; ist durch \; 2^{p} - 1 \; teilbar. \end{eqnarray*}$ werner
16.12.2004, 12:00	eule	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Primzahl Konstruktion Nachdem wernerrin schon gelöst hat wollte ich nur noch ergänzen dass der von ihm benutzte Satz auch allgemeiner zu formulieren ist: Für $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} x-y\mid x^{n} -y^{n} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Eine einfache Folgerung daraus ist: $\begin{eqnarray} x+y\mid x^{n} +y^{n} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ungerade. Ich wollte das nochmal erwähnen da man diese beiden Sätze in etlichen zahlentheoretischen Bewiesen brauchen kann

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