finden einer basis ... |
| 16.12.2004, 17:57 | nixchecker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| finden einer basis ... finden sie eine basis fuer v1 = (1, 2, 0, 2) v2 = (2, 3,-1,2) v3 = (3, 7, 1, 8) v4 = (0, 2,-2, 0) v5=(1,5,-1,4) so, ich habe nur mal ein paar fragen zur vorgehensweise also, wenn ich das pascalsche dreieck zur hilfe nehme, so gibt es 5 ( über ) mögliche kombinationen aus diesen 5 vektoren eine 4 elementige 4 basis auszuwaehlen, als da waeren: v1 v2 v3 v4 v1 v2 v4 v5 v1 v3 v4 v5 v1 v2 v3 v5 und v2 v3 v4 v5 so, nun gehe ich alle diese kombinationen durch, und pruefe ob sie in zeilenstufenform zu bringen sind, ich mache das kurz fuer fall eins und frage euch was ich nun falsch mache : ich schreibe die vektoren untereinander hin I 1 2 3 0 0 II 2 3 7 2 0 III 0 -1 1 -2 0 IV 2 2 8 0 0 nun rechne ich IV+(-II) I 1 2 3 0 0 II 2 3 7 2 0 III 0 -1 1 -2 0 IV 0 -1 1 -2 0 man sieht direkt das eine lineare abhaengigkeit entsteht wenn ich das nun mit allen oben beschriebenen kombinationen mache, so komme ich immer zu einem punkt wo eine zeile null wird, was mache ich nun falsch ? muss ich die vektoren nicht untereinander sondern nebeneinander hinschreiben ? 
|
||||||||||
| 16.12.2004, 22:27 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
also erstens, was isn das für ne aufgabe? sehe ich das richtig, das sind vektoren aus dem R4 und du sollst 4 von ihnen auswählen, die dann zusammen eine basis des R4 bilden?
macht da nämlich keinen sinn..... du kannst die vektoren auch gleich als spalten (!) in eine 4x5 matrix schreiben. dann kannst du zeilenumformungen machen, dabei ändert sich ander linearen (un)abhängigkeit nix. dann kannst dus soweit vereinfachen, bis du erkennen kannst, welche vektoren wie voneinander abhängen und dann einfach 4 linear unabhängige wählen. natürlich geht auch dein verfahren, hier schreibst du jeweils 4 vektoren als spalten in eine matrix (4x4) und schaust ob ihre treppe die einheitsmatrix ist. mfg jochen ps:
finde ich gut, dass du dir trotzdem noch gedanken machst 
|
||||||||||
| 17.12.2004, 00:26 | nixchecker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ia, das siehst du richtig, ist halt LA1 die aufgabe lautet finden sie eine basis fuer V = L(v1, v2, v3, v4, v5), womit wohl meint ist die lineare huelle der vier vektoren ( falls ich alles richtig verstanden habe eine basis die alle mit beliebigen faktoren gebildete vektoren aus v1,v2,v3,v4,v5 erzeugt, nicht fuer r4 sondern nur fuer die 5 vektoren und ihre zugehoerigen vielfachen ... oder ?
also, da ich keine loesung gefunden habe, oben habe ich geschrieben das es 5 kombinationen gibt wie ich eine 4x4 matrix aus diesen vektoren bilden kann ( noch richtig ? ) so, dann war mein problem, dass !!!ALLE!!! dieser 5 matrizen irgendwann eine nullzeile haben, ist das grund genug zu behaupten es GIBT GAR KEINE BASIS ? und wenn ich die als 4x5 spaltenvektoren schreibe so habe ich dasselbe problem, das schon nach nur einem schritt eine nullzeile bekomme, ( du meinst doch mit 4x5 matrix umformung das ich die verschiedenen *zeilen* faktorisiert addiere um eine stufenform zu bekommen? also bei ner 4x5 matrix habe ich dann folgende: 1 2 3 0 1 2 3 7 2 5 0 -1 1 -2 -1 2 2 8 0 4 mache ich nun IV-III steht da 1 2 3 0 1 2 3 7 2 5 0 -1 1 -2 -1 0 -1 1 -2 -1 also eine nullzeile ... muss ich nun nen anderen vekotr in die 5 spalte schreiben, und wieder umformen ? kurzes uerlegen sagt mir aber das ich dann wieder auf ne nullzeile komme ... 
oder was meinst du mit umformen ?!?!?!??!
gedanken machen ist gut, heute war probeklausur und ich hab bei soner popelsaufgabe versagt ...
*schaem* |
||||||||||
| 17.12.2004, 00:36 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ui, naja, wenn deine umformung so richtig ist, kannst du aus der treppe folgendes ablesen, denn lineare abhängigkeit ist erhalten geblieben: der vierte und 5. vektor liegt im erzeugnis der ersten 3 vektoren, also kannst du sie aus dem erzeugendensystem schmeißen... also sind v1,v2,v3 eine basis der linearen hülle von v1-v5. mfg jochen |
||||||||||
| 17.12.2004, 01:20 | nixchecker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
also, du meinst ich habe alles richtig gemacht, checke nur nichts damit anzufangen ? was ich mich nun frage ist wie kommst du auf v4 und v5 ? ich habe die vektoren doch als spalten geschrieben !!!!!
also muesste a,b,c finden koennen um av1+bv2+cv3 = v4 oder v5 erzeugen zu koennen ? als probe quasi, 1 2 3 = 1 2 3 7 = 5 0 -1 1 = -1 2 2 8 = 4 aber bei diesem gleichungssystem habe ich wieder IV + (-II) 1 2 3 = 1 2 3 7 = 5 0 -1 1 = -1 0 -1 1 = -1 also ne nullzeile drinn, das ist noch keine inkonsistenz, es heisst dann einfach nur das c =0 ist ? wenn ich das nun fortfuehre bekomme ich c = 0 die dritte spalte faellt dann weg uebrig bleibt das zu loesende siystem 1 2 = 1 2 3 = 5 nun mache ich II-(2*I ) 1 2 = 1 0 -1 = 3 bekomme fuer b =-3 heraus und fuer a = 7 nun habe ich als loseung um v5 darzustellen 7v1+-3v2+0v3 
ich habe das nurmal hier gemacht um zu sehen ob alles richtig ist, aber es scheint hinzuhauen mmich hat nur ein wenig viel verwirrt als eine zeile null wurde, da ich immer gedacht habe dann aufhoeren zu muessen da irgendeine inkonsistenz vorliegt ... in diesem fall hat es einfach zu c=0 gefuehrt, was mich zu der behauptung hinreissen laesst das nur v1 und v2 eine basis fuer das ding sind ...
kurzes nachpruefen mit av1+bv2 = v3 funktioniert, fuer a = 5 und b = -1
*freu* wenn es nun noch fuer av1+bv2 = v4 und av1+bv2 = v5 hinhaut, so duerfte v1 und v2 die gesuchte basis sein ... vielen dank fuer den support, ich habe diese wunderbare verstaendissvolle forum gerade erst entdeckt, und werde euch von nun an ( es gibt noch analysis I ) regelmaessig mit fragen loechern ... derchristian |
||||||||||
| 17.12.2004, 09:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hmm, bin etwas am Rätseln. 
Ich habe gelernt, die Vektoren als Zeilen in eine Matrix zu schreiben und mit Zeilenumformungen in Zeilenstufenform zu bringen. Die Nicht-Null-Zeilen sind dann eine Basis.Die Ausgangsmatrix wäre also wie folgt: |
||||||||||
| Anzeige | ||||||||||
|
|
||||||||||
| 17.12.2004, 09:33 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
lass dies eine vorform deiner treppe sein. a,b,c ungleich null (sowas ähnliches hast du). dann kannst du die letzte treppenstufe natürlich in der 3. der 4. oder der 5. spalte erzeugen, das bedeutet, es gibt mehrere arten, eine basis anzugeben. aber sie wird immer aus 3 vektoren bestehen.
sehe deine fertige matrix nun so aus. hier kannst du tatsächlich ablesen: v4=a*v1+b*v2+c*v3, wie aus der treppe sofort einfach hinschreibbar ist. v5=...analog... mfg jochen edit: @klarsoweit: kann es sein, das dein verfahren dafür gut ist, einfachere basisvektoren zu erhalten, während man bei meinem verfahren schnell die abhängigkeit untereinander erkennt?! ja dein verfahren sollte auch gehen.... idee: linear unabhäbngige vektoren bleiben durch addieren einzelner vektoren auf andere linear unabhängig... edit2: jupp, tatsächlich, in die zeilen schreiben kommt erzeugendensystemumformungen gleich, bis man den nullvektor erhält, den man dann direkt wegfallen lassen kann... danach kann man aber nix mehr über die ausgangsvektoren sagen..... in die spalten schreiben heißt nur schauen, welche vektoren wie voneinander abhängen.... erinnere mich dunkel, sowas auch mal gesehen zu haben..... also: auf jeden fall zeilen, wenn man eine möglichst einfache (von einträgen) basis angeben soll, auf jeden fall spalten, wenn man lineare (un)abhängigkeit testen und angeben soll... in obiger aufgabe ist eindeutig beides machbar |
||||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
