Ableitung von ln(x)lg(x/2)

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28.04.2007, 11:42

Julia_87

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Ableitung von ln(x)lg(x/2)

Hallo

Meine ersten 2 Wochen Uni und ich bin schon am verzweifeln unglücklich

und das schon bei dem Thema Differential und Integralrechnung.
Stehe da bei einer Aufgabe total auf dem Schlauch unglücklich

. Wie um himmels willen leite ich f(x)=ln(x)lg(x/2) ab???
Wenn ihr mir da helfen könntet, wäre ich euch echt dankbar. Freude

28.04.2007, 11:43

Bjoern1982

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Hi

Produkt- und Kettenregel sollten hier weiterhelfen smile

Kannst du damit was anfangen ?

Gruß Björn

28.04.2007, 11:45

Frooke

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Du kannst die Produkteregel anwenden oder einen Basiswechsel machen:

$\begin{eqnarray*} f(x):=\ln x \cdot \operatorname{lg}\frac{x}{2}=\ln x \frac{\ln\frac{x}{2}}{\ln 10}=... \end{eqnarray*}$

28.04.2007, 11:48

Lazarus

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und $\begin{eqnarray*} \ln\left(\frac{x}{2}\right) = \ln(x)-\ln(2) \end{eqnarray*}$

28.04.2007, 19:25

Julia_87

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mein Problem ist, das ich die beiden Funktionen nicht ableiten kann. Weder ln(x) noch lg(x/2), weil die Idee mit der Ketten bzw. Produktregel hatte ich auch schon.

Was ist denn ln(x) abgeleitet? 1/x????

Und wie ist lg(x/2) abzuleiten? Bin nämlich mit dem Ableiten recht gut vertraut, nur halt nicht mit dem Logarithmus. Da hört es nämlich bei mir komplett auf unglücklich

Haben wir in der Schule nämlich nie gemacht.
Also wenn mir jemand die Ableitung von den zwei Termen schreiben würde, wäre mir wirklich schon sehr geholfen.

@Lazarus: Wenn $\begin{eqnarray*} ln(x/2)=ln(x)-ln(2) \end{eqnarray*}$ gilt, gilt das dann auch für den log?

28.04.2007, 19:42

Airblader*

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Ja, ganz normale Logaritmensätze smile

air

28.04.2007, 19:46

system-agent

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kurz gesagt, gibt es nur eine exponentialfunktion, nämlich die zur basis $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und daher auch nur einen logarithmus. das heisst du musst nur die eine ableitung $\begin{eqnarray*} [\ln x]'=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ) kennen und für die unverbesserlichen noch die angesprochene basiswechselformel

28.04.2007, 19:50

KimmeY

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und ja, f(x) = ln(x) dann ist f'(x) = 1/x

und hier hast du ,al noch ne schöen seite mit allen wichtigen ableitung auf einen blick (ganz unten stehn auch nochmal die logaritmen)

ableitungen

ich weiß leider nicht wie das bei log ist, obs da noch ne andere möglichkeit gibt als den basiswechsel auf ln.... dafür bin ich leider schon zu lange raus aus der thematik... (ein ganzen jahr - was man da alles vergisst traurig

)

28.04.2007, 19:53

Frooke

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Ja, die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x):=\ln x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ .

Nun kannst Du ja umschreiben mit dem Basiswechsel (*):

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln x \cdot \operatorname{lg}\frac{x}{2}=\ln x \frac{\ln\frac{x}{2}}{\ln 10}=\frac{1}{\ln 10}\ln(x) (\ln x -\ln 2) \end{eqnarray*}$

Zum Basiswechsel: Es ist (ich lasse mal Voraussetzungen weg) :

$\begin{eqnarray*} \log_a x=y \Leftrightarrow x = a^y \Leftrightarrow \log_b x = y \log_b a \Leftrightarrow \log_a x=\frac{\log_b{x}}{\log_b{a}} \end{eqnarray*}$

EDIT: Reichlich spät, aber man @KimmeY: Aus dem Basiswechsel folgt allgemein:

$\begin{eqnarray*} (\log_a x)'=\frac{1}{x \ln a} \end{eqnarray*}$

29.04.2007, 14:16

marci_

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ich habe da jetzt gerade ein bischen mitgelesen und frage mich, wie man zu dem basiswechsel kommt...könnte mir jemand eventuell. ein bsp. liefern?
und noch eine herleitung für die ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)=log x \end{eqnarray*}$

29.04.2007, 15:11

KimmeY

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@frooke

das heißt immer wenn ich irgendeinen anderen logharitmus außer dem ln ableiten will komm ich zwangsläufig wieder auf den ln, interessant... glaub sowas haben wir eher spärlich gemachjt damals... aber danke smile

29.04.2007, 16:30

Lazarus

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Der natürliche Logarithmus sowie die e-Funktion verhalten sich zueinander invers, also gilt $\begin{eqnarray*} \exp\left(\ln(x)\right)=x \end{eqnarray*}$

somit kann man jede nichtnegative Basis $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einer Exponentialfunktion $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ umschreiben durch $\begin{eqnarray*} a=e^{\ln(a)} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} a^x=\left( e^{ \ln(a) } \right)^x=e^{x\cdot \ln(a)} \end{eqnarray*}$

Analog funktioniert es dementsprechend für Logarithmen.

Somit kann man anstelle einer beliebigen Basis einer Exponentialfunktion oder eines Logarithmuses immer $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ betrachten, wenn man durch Umformungen es auf diesen Fall zurückführt.

29.04.2007, 16:44

Frooke

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Zitat:

Original von KimmeY
@frooke

das heißt immer wenn ich irgendeinen anderen logharitmus außer dem ln ableiten will komm ich zwangsläufig wieder auf den ln, interessant... glaub sowas haben wir eher spärlich gemachjt damals... aber danke smile

Du kannst natürlich zurückwechseln und die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x):=\log_a(x) \end{eqnarray*}$ mit Basis a ausdrücken. Augenzwinkern

Aber die Euler'sche Zahl wird dann immer irgendwo auftauchen smile

...

@marci_:

Wenn Du den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion benutzen kannst ist das ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} y=f(x):=\exp x=f'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=\ln y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f^{-1}(y))'=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{\exp x}=\frac{1}{y} \end{eqnarray*}$

Oder es geht auch direkt am Differenzenquotienten, kriegst Du sicher hin!

EDIT: Ich schreib's trotzdem für alle hin und für Dich als Kontrolle:

$\begin{eqnarray*} \ln' x=\lim_{h \to 0}\frac{\ln(x+h) -\ln x}{h}=\lim_{h \to 0}\left(\frac{1}{h}\cdot\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)\right)=\lim_{n \to \infty}\ln\left(\left(1+\frac{1}{xn}\right)^n\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\ln\left(\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{xn}\right)^n\right)=\ln\left(\mathrm e^{\frac{1}{x}}\right)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

30.04.2007, 15:03

gast_marci_

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@frooke: ich habs jetzt speziell bei $\begin{eqnarray*} y=log_{a} x \end{eqnarray*}$ gemeint...

führe ich es dann so aus, indem ich es auf die form bringe $\begin{eqnarray*} x=a^{y} \end{eqnarray*}$
und dann eben: $\begin{eqnarray*} log_{a} x =y \end{eqnarray*}$ ?

ich verstehe das mit der ableitung irgendwie nicht so ganz...

30.04.2007, 17:14

Frooke

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@marci_:

Eine Möglichkeit besteht darin, dass Du einen Basiswechsel machst und dann immer eine Konstante mitschleppst. Ich denke aber, dass Du eigentlich den Basiswechsel vermeiden möchtest, aber spätestens beim letzten Grenzwert wirst Du wieder etwas in dieser Art machen müssen (dort wo die Pünktchen sind)...

$\begin{eqnarray*} \log_a' x=\lim_{h \to 0}\frac{\log_a(x+h) -\log_a x}{h}=\lim_{h \to 0}\left(\frac{1}{h}\cdot\log_a\left(\frac{x+h}{x}\right)\right)=\lim_{n \to \infty}\log_a\left(\left(1+\frac{1}{xn}\right)^n\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\log_a\left(\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{xn}\right)^n\right)=\log_a\left(\mathrm e^{\frac{1}{x}}\right)=... \end{eqnarray*}$

02.05.2007, 20:01

marci_

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irgendwiee verstehe ich das nicht...
wie sieht der basiswechsel hier aus?

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