Pseudoinverse (Singulärwerte)

28.04.2007, 13:45	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Pseudoinverse (Singulärwerte) Guten Tag, ich soll als Aufgabe die Pseudoinverse einer Matrix A die als Singulärwertzerlegung gegeben ist, mit Hilfe der Normalengleichung herleiten. Also bekannt ist: $\begin{eqnarray} A\in \mathbb R^{(m,n)} \\ m\geq n \\Rang(A)=n \\ A=U\Sigma V^t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^tAx=A^tb \\ (V\Sigma^t U^t)(U\Sigma V^t)x=V \Sigma^t U^tb \\ (V\Sigma^t \Sigma V^t) x = V \Sigma^t U^t b \\ \Sigma^t \Sigma V^t = \Sigma^t U^t b \\ \Sigma V^tx= U^t b \\ x = V \Sigma^+ U^t b \\ A^+ = V\Sigma^+ U^t \end{eqnarray}$ Was sagt ihr dazu?
30.04.2007, 15:44	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst sich damit wirklich niemand aus? Ich bin ja der Meinung, dass ich alles richtig gemacht habe, wollte nur nochmal eine Bestätigung von den Experten hier hören
30.04.2007, 23:04	tesuji	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, ab der 4. Gleichung $\begin{eqnarray} S^T S V^T x = S^T U^T b \end{eqnarray}$ würde ich so fortsetzen: $\begin{eqnarray} (S^T S)^{-1} S^T S V^T x = (S^T S)^{-1} S^T U^T b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V^T x = S^+ U^T b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = V S^+ U^T b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = A^+ b \end{eqnarray}$ Weil A injektiv ist, läßt sich A+ auch ohne Singulärwertzerlegung berechnen: $\begin{eqnarray} A^+ = (A^T A)^{-1} A^T \end{eqnarray}$ vg tesu
01.05.2007, 09:02	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für dein statement. Ich habe mich nämlich selbst gefragt, wie da aufeinmal das t (transponiert) zum + werden soll. Bei dir ist es aber offentsichtlich. Schönen Feiertag

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