Exponential verteilte zufallsvariable

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Frodo Auf diesen Beitrag antworten »
Exponential verteilte zufallsvariable
Hi Tanzen
Sei X eine Exponential verteilte zufallsvariable mit Parameter a > 0. Brechne Dichte der Zufallsvariable Y = k*log(X) und Z = X^2.

Meine Frage ist nun, wie krieg ich die Dichte berechnet. Muss ich einfach die Dichte von X einsetzen? Das wäre doch zu einfach, oder? Oder muss ich da so ein Gewussel mit der Verteilungsfunktion von X anstellen. Hatten leider kein Beispiel bisher wie man das macht.
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponential verteilte zufallsvariable
So "ungefähr" klappt das nur bei der Verteilungsfunktion - aber auch nur, wenn die Transformationsfunktion X --> Y streng monoton wachsend ist. Bei der Dichte kommt dann gewissermaßen die Kettenregel zum Einsatz.

Von "Hand" klappt's am besten so (ich nehme auch mal k>0 an):



Und jetzt natürlich

Frodo Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig?


zum zweiten Teil der Aufgabe:



Ableiten:


Ist das richtig????
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Richtig?
Der erste Teil ist richtig.

Für den zweiten Teil ist zu beachten, dass das ganze nur für z>0 gilt,
und dort muss es eigentlich heißen



Hier im Falle der Exponentialverteilung von X macht das keinen Unterschied zu deiner Rechnung, da die Exponentialverteilung von X auf der positiven Achse konzentriert ist.

Für z <= 0 ist natürlich immer P(X²<z)=0 , bei beliebiger Verteilung von X.
Frodo Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön!
Okay hab alles verstanden! smile
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