Ableitung e-Funktion

28.04.2007, 19:45

fraggelfragger

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Ableitung e-Funktion

Guten Abend, ich habe Probleme bei der Differenzierung dieser Funktion:
$\begin{eqnarray*} f_a(x) = a *x* e^{-\frac{1}{2}x^2 } \end{eqnarray*}$
Mir ist unklar wie man auf das Ergebnis gelangt. das ist doch hier nur Produktregel oder?

Mein Lösungsvorschlag:
$\begin{eqnarray*} f_a(x) = a *x* e^{-\frac{1}{2}x^2 } \end{eqnarray*}$
-------------
$\begin{eqnarray*} u(x)= a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v(x)=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w(x)=e^{-\frac{1}{2}x^2 } \end{eqnarray*}$
------------
Produktregel anwenden:
$\begin{eqnarray*} f_a'(x) = u'(x) * v(x) *w + u(x) * v'(x) *w + u(x) * v(x) *w'(x) \end{eqnarray*}$

Ist der Ansatz richtig? worin liegt mein Fehler?

-----------
Lösung laut Buch: $\begin{eqnarray*} f_a'(x) = a*e^{-\frac{1}{2}x^2 } + a*x*e^{-\frac{1}{2}x^2 }* (-x) \end{eqnarray*}$

28.04.2007, 19:57

Frooke

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Betrachte a nicht als Teilfunktion des Produkts, sondern als konstanten Faktor...

28.04.2007, 20:06

fraggelfragger

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ok
$\begin{eqnarray*} f_a(x) = a *x* e^{-\frac{1}{2}x^2 } \end{eqnarray*}$
--------
$\begin{eqnarray*} v(x)=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w(x)=e^{-\frac{1}{2}x^2 } \end{eqnarray*}$
-------
$\begin{eqnarray*} f_a'(x) = a * v'(x) * w(x) + a * v(x) * w' (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_a'(x) = a * 1 * e^{-\frac{1}{2}x^2 } + a * x *-\frac{2}{2}x *e^{-\frac{1}{2}x^2 } \end{eqnarray*}$
Umgeformt:
$\begin{eqnarray*} f_a'(x) = a*e^{-\frac{1}{2}x^2 } + a*x*e^{-\frac{1}{2}x^2 }* (-x) \end{eqnarray*}$
Habs kapiert, bleibt mir nur noch eine Frage wieso muss ich die Variable a nun hier als konstante behandeln gibts dafür irgendwelche logischen Gründe?

danke für eure Hilfe

mfg

28.04.2007, 20:14

Musti

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Die Variable a wird als konstanter Faktor behandelt, weil es sich in dieser Funktion um eine Schar handelt.

Funktionsscharen

28.04.2007, 20:18

KimmeY

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als was definierst du denn eine variabel???
das müsste dir schon weiterhelfen, weil du ja vorne angegeben hast dass du nach x ableitest (f(x)), ist a hier ja wirklich nur eine variabel... das müsstest ihr eigentlich schon gelernt haben dass variabeln (wenn du nciht nach ihnen ableitest) immer wie eine unbekannte aber fest definierte zahl behandelt werden...

da gibts übrigens schön fiese tricks, hatten wir in unserer mathearbeit... hatten ne mega gleichung da stehen, mit e und gebrochenrational und ich hab nur gedacht aaaaaaaaahhh... aber unser mathe lehrer war gemein hatte nämlich geschrieben f(t) = ... und in der ganzen gleichung waren nur x als variabel, kein t.... deswegen war die ableitung dann f'(t) = 0 8weil nach t abgeleitet werden sollte nicht nach x!!!) - auf sowas immer achten Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.04.2007, 20:19

Musti

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Dieser Lehrer war wirklich fies Big Laugh

Big Laugh

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28.04.2007, 20:21

Frooke

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Paradebeispiel:

$\begin{eqnarray*} f(\mathrm e):=\mathrm e^x \end{eqnarray*}$

28.04.2007, 20:25

KimmeY

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das ja schon wieder gemein, da muss man ja rechnen, lach.... naja, halt so kleine feine sachen die man nieeee wieder vergisst in seinem leben... Prost

Prost

edit:// wo ich mir das gerade nochmal anschaue, es ist lange her... aber ich weiß noch dass wir bei manchen e-funktionen immernoch den koeffizientenvergleich hatten... würde das hier auch funktionieren oder geht das nicht wegen dem ² (...e^x² )???

28.04.2007, 21:12

fraggelfragger

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Zitat:

KimmeY:
da gibts übrigens schön fiese tricks, hatten wir in unserer mathearbeit... hatten ne mega gleichung da stehen, mit e und gebrochenrational und ich hab nur gedacht aaaaaaaaahhh... aber unser mathe lehrer war gemein hatte nämlich geschrieben f(t) = ... und in der ganzen gleichung waren nur x als variabel, kein t.... deswegen war die ableitung dann f'(t) = 0 8weil nach t abgeleitet werden sollte nicht nach x!!!) - auf sowas immer achten

hehe das ist ja echt ein fieser Lehrer

also wenn da nun ne Funktion wie die hier steht:
$\begin{eqnarray*} f(x) = 3x^2 + 2x + t \end{eqnarray*}$
Ist die Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 6x + 2 + t \end{eqnarray*}$
Hier wird t als Konstante behandelt, und x als Variable
----------
wenn aber das so da steht:
$\begin{eqnarray*} f(t) = 3x^2 + 2x + t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(t) = 3x^2 + 2x + 1 \end{eqnarray*}$
Hier wird x als Konstante behandelt, und t als Variable

Ist das so richtig?

28.04.2007, 21:14

Musti

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Bei deiner ersten Ableitung fällt das t weg. Denn eine konstante abgeleitet ergibt 0.

28.04.2007, 21:15

system-agent

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Zitat:

Original von fraggelfragger

$\begin{eqnarray*} f(x) = 3x^2 + 2x + t \end{eqnarray*}$
Ist die Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 6x + 2 + t \end{eqnarray*}$
Hier wird t als Konstante behandelt, und x als Variable

nein, genau aus dem grund den du selbst hingeschrieben hast ist die ableitung falsch. $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist eine konstante und fällt damit weg !

zum vergleich: $\begin{eqnarray*} f'(x)=6x+2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von fraggelfragger
wenn aber das so da steht:
$\begin{eqnarray*} f(t) = 3x^2 + 2x + t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(t) = 3x^2 + 2x + 1 \end{eqnarray*}$
Hier wird x als Konstante behandelt, und t als Variable

auch nein.
$\begin{eqnarray*} f'(t)=1 \end{eqnarray*}$

28.04.2007, 21:22

fraggelfragger

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aha das wusste ich nicht, also wenn man Konstanten ableitet ergeben sie 0.

Habe gerade mal die Boardsuche betätigt:
Konstanten als Summanden ergeben Null beim Ableiten.
Konstanten als Faktoren werden beim Ableiten einfach mitgeschleppt.

ok jetzt müsste es klar soweit sein, danke für eure Hilfe smile

smile

mfg

28.04.2007, 21:23

KimmeY

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probiers nochmal mit denen

f(x)= ax² + 5x
f(x)= 6x + 3 + b
f(x)= 8/x + 4/3a
f(t)= 8x + t²
f(t)= at + b
f(b)= 8x + t/2 + n³

28.04.2007, 21:25

system-agent

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na dann leit mal ab:
$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2+tx+c\cdot e^{2t^10} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(t)=x^3+\sin(x)-3t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(p)=x^x+t^t+t^x+x^t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i(x)=tx^t+t \end{eqnarray*}$

edit
da hatte jemand die gleiche idee Big Laugh

Big Laugh

28.04.2007, 21:47

fraggelfragger

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alles klar jetzt geht party Big Laugh

Big Laugh

------------------
$\begin{eqnarray*} f(x)= ax² + 5x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= 2ax + 5 \end{eqnarray*}$
-----------------
$\begin{eqnarray*} f(x)= 6x + 3 + b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= 6 \end{eqnarray*}$
-----------------
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{8}{x} + \frac{4}{3a} \end{eqnarray*}$
//edit hier war fehler:
f'(x)= 8
so sollte es aussehen f'(x)= -8x^-2
-----------------
$\begin{eqnarray*} f(t)= 8x + t² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(t)= 2t \end{eqnarray*}$
-----------------
$\begin{eqnarray*} f(t)= at + b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(t)= a \end{eqnarray*}$
-----------------
$\begin{eqnarray*} f(b)= 8x + t/2 + n³ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(b)= 0 \end{eqnarray*}$
-----------------
#############
-----------------
$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2+tx+c\cdot e^{2t^10} \end{eqnarray*}$
f'(x)=2ax+t+c
richtig: $\begin{eqnarray*} f'(x)=2ax+t \end{eqnarray*}$
-----------------
$\begin{eqnarray*} g(t)=x^3+\sin(x)-3t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(t)=-3 \end{eqnarray*}$
-----------------
$\begin{eqnarray*} h(p)=x^x+t^t+t^x+x^t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h'(p)=0 \end{eqnarray*}$
-----------------
$\begin{eqnarray*} i(x)=tx^t+t \end{eqnarray*}$
i'(x)=t^2 x^t
richtig: $\begin{eqnarray*} i'(x)=t^2 x^{t-1} \end{eqnarray*}$
-----------------
Wenn alle richtig sind gibbet ne Runde aufs Haus Prost

Prost

Big Laugh

//edit Ableitungsstriche eingefügt und Ergebnisse korregiert

28.04.2007, 21:58

Frooke

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Zwei kleine Fehler:

Zitat:

Original von fraggelfragger

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2+tx+c\cdot e^{2t^10} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=2ax+t+c \end{eqnarray*}$

Muss heissen $\begin{eqnarray*} f'(x)=2ax+t \end{eqnarray*}$ .

Und hier:

Zitat:

Original von fraggelfragger
$\begin{eqnarray*} i(x)=tx^t+t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i(x)=t^2 x^t \end{eqnarray*}$

Muss heissen
$\begin{eqnarray*} i'(x)=t^2 x^{t-1} \end{eqnarray*}$

Im Übrigen hast Du jeweils bei den 4 letzten den Strich vergessen, also es sollte heissen f', h', g' i' für die Ableitung. mfg

PS: Mach Dir trotzdem einen Drink smile

smile

.

28.04.2007, 22:00

KimmeY

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edit:// zu spät wie immer.... mist...

war doch schon gar nicht so schlecht...
zum schlus nochmal das tlle beispiel

$\begin{eqnarray*} f(e) = e^x \end{eqnarray*}$

dann darfst dir wirklich nen drink machen (und ich trink gleich mit Prost

Prost

)

28.04.2007, 22:35

fraggelfragger

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Also ich weis das man das so macht:
$\begin{eqnarray*} f(x) = e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^x \end{eqnarray*}$

Nun, aber so hm...
$\begin{eqnarray*} f(e) = e^x \end{eqnarray*}$
e ist von haus aus eine konstante deshalb ( ich gehe davon aus das mit e die eulersche zahl gemeint ist)
deshalb so , oder das geht garnicht.
$\begin{eqnarray*} f'(e) = 0 \end{eqnarray*}$

28.04.2007, 23:02

Musti

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Verwende die Regel $\begin{eqnarray*} f`(x)=n\cdot x^{n-1} \end{eqnarray*}$

29.04.2007, 08:25

fraggelfragger

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$\begin{eqnarray*} f(e) = e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(e) = xe^{x-1} \end{eqnarray*}$
das hatte ich mir auch erst überlegt ob ich das so machen kann , aber dann kam es mir in den sinn das e auch eine konstante ist.

29.04.2007, 09:14

Airblader

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Aber du leitest hier nach e nicht nach x ab! In diesem Falle ist e eben keine Konstante Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

29.04.2007, 09:51

fraggelfragger

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Zitat:

Original von Airblader
Aber du leitest hier nach e nicht nach x ab! In diesem Falle ist e eben keine Konstante Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

oha , das ist ja dann wirklich eine sehr hinterlistige Aufgabe,
also kann ich immer in solchen fällen davon ausgehen?
$\begin{eqnarray*} f(\pi) = \pi ^x \end{eqnarray*}$
hier wäre ja dann $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ebenfals eine "von Haus aus Konstante", diese ist in dem fall jedoch die variable und x die Konstante.
-----------
Stimmt das Ergebnis von oben eigentlich jetzt verwirrt

verwirrt

29.04.2007, 10:00

Airblader

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Ja, es stimmt, diesmal war ich zu schnell am Überlegen! Sorry Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

29.04.2007, 12:35

fraggelfragger

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Zitat:

Original von Airblader
Ja, es stimmt, diesmal war ich zu schnell am Überlegen! Sorry Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

kein Problem und auch kein Grund Sorry zu sagen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hiermit möchte ich mich nochmal bei euch allen bedanken, ich denke das habe ich jetzt verstanden.

mfg

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