Ableitungen von Wurzeln

17.12.2004, 11:58

wurzelknirps

Ableitungen von Wurzeln

Hallo zusammen,

bitte helft mir ein wenig auf die Beine, ich erarbeite mir grad Differentialgleichungen und bin sehr am Stolpern ..

Das Ableiten von Funktionen mit Wurzelausdrücken bereitet mir momentan Kopfzerbrechen: verwirrt

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{x-1} \end{eqnarray*}$ das muss ich doch mit der Kettenregel ableiten, also die äussere Funktion würde ich zu: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*(x-1)^{-\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ was dann: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3*\sqrt[3]{(x-1)^2}} \end{eqnarray*}$ ergibt .. oder?
Und die innere Funktion wäre doch der Ausdruck unter der Wurzel, also nur (x-1), was abgeleitet 1 entspricht, mit diesem Ausdruck würde ich dann die Ableitung der äusseren Funktion multiplizieren?

Habe ich nun folgenden Ausdruck: $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{(x^2-2x+1)} \end{eqnarray*}$ dann würde ich zuerst sehen, dass $\begin{eqnarray*} (x^2-2x+1) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} (x-1)^2 \end{eqnarray*}$ entspricht .. also wäre meine Ableitung der äusseren Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*((x-1)^2)^{-\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ , daraus ergibt sich: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3*\sqrt[3]{(x-1)^4}} \end{eqnarray*}$ ?? Multipliziert mit der inneren Ableitung $\begin{eqnarray*} 2x-2 \end{eqnarray*}$ wäre mein Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \frac{2x-2}{3*\sqrt[3]{(x-1)^4}} \end{eqnarray*}$ .. aber das ist Käse oder?

Bitte bringt mich auf die richtige Spur .. nicht zu kompliziert, bin Autodidakt

ein grübelnder knirps

17.12.2004, 12:47

klarsoweit

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RE: Ableitungen von Wurzeln
habe auf die schnelle keinen Fehler festgestellt. Ich würde aber $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{(x^2-2x+1)} \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{(x - 1)^2} \end{eqnarray*}$ umformen, sondern direkt ableiten und natürlich die Kettenregel beachten. Statt Wurzelschreibweise würde ich diese Darstellung bevorzugen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x^2-2x+1)^{1/3} \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x - 1)^{2/3} \end{eqnarray*}$

17.12.2004, 14:43

wurzelknirps

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RE: Ableitungen von Wurzeln
Hallo klarsoweit,

hm, dann wäre das Ergebnis wohl:
$\begin{eqnarray*} \frac{2x-2}{3*\sqrt[3]{(x^2-2x+1)^2}}=\frac{2(x-1)}{3*\sqrt[3]{((x-1)(x-1))^2} } \end{eqnarray*}$

Wie kann ich denn Zähler und Nenner um $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ kürzen?

Oh .. wie ich Wurzeln mag verwirrt

knirps

17.12.2004, 14:48

mYthos

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RE: Ableitungen von Wurzeln
Hi,

deine Ergebnisse sind richtig! Und die Umformung ist nicht schlecht. Denn

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{(x - 1)^2} = (x - 1)^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

und die Ableitung leicht

$\begin{eqnarray*} f '(x) = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ .. [innere Ableitung ist 1]

damit kommst du nach Umformen auf dasselbe Ergebnis ..

Gr
mYthos

17.12.2004, 15:51

klarsoweit

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RE: Ableitungen von Wurzeln
für $\begin{eqnarray*} \frac{2x-2}{3*\sqrt[3]{(x-1)^4}} \end{eqnarray*}$ kann man auch
$\begin{eqnarray*} \frac{2x-2}{3*\sqrt[3]{(x-1)^3 * (x-1)}} \end{eqnarray*}$ schreiben
bzw.:
$\begin{eqnarray*} \frac{2x-2}{3 \cdot (x - 1) \cdot \sqrt[3]{(x-1)}} \end{eqnarray*}$
das läßt sich dann kürzen und du kommst zu deinem gewünschten Ergebnis.

17.12.2004, 16:21

wurzelknirps

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Vielen lieben Dank für Eure nette Hilfe, jetzt sehe ich wieder klarer.

ein strahlender
knirps
smile

17.12.2004, 21:45

wurzelknirps

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ich möchte doch noch etwas fragen ..

gegeben sei $\begin{eqnarray*} f(x)=x*\sqrt[3]{x*\sqrt[3]{x}} \end{eqnarray*}$

Das muss doch nach der Produktregel und der Kettenregel gelöst werden, oder?

Also nehme ich an, dass für x und den folgenden Wurzelterm die Produktregel gilt, aber der Wurzelterm nach der Kettenregel abgeleitet werden muss. Für den ersten Teil der Produktregel:

$\begin{eqnarray*} u(x)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u'(x)=1 \end{eqnarray*}$

weiterhin nehme ich eine innere Funktion an:

$\begin{eqnarray*} v(x)=x*\sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'(x)=\frac{x}{3*\sqrt[3]{x^2}} \end{eqnarray*}$

und eine äussere:

$\begin{eqnarray*} w(v(x))=\sqrt[3]{x*\sqrt[3]{x}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w'(v(x))=\frac{1}{3*\sqrt[3]{(x*\sqrt[3]{x})^2}} \end{eqnarray*}$

Nun denke ich könnte man erst mit der Kettenregel den Wurzelterm ableiten:

$\begin{eqnarray*} a(x)=w'(v(x))*v'(x) \end{eqnarray*}$

jetzt schwinden mir die Sinne .. zuviel der Wurzel, ich fühle mich betrunken

Kann mich einer ernüchtern?

ein im delirium schwebender
knirps

17.12.2004, 22:22

kikira

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das ist viel zu kompliziert, denn du kannst das umformen in:

f(x) = x * 3.sqrt(x * x^(1/3))
f(x) = x * 3.sqrt( x^(4/3)

f(x) = x * x^(4/9)

f(x) = x^(13/9)

und dann ableiten

lg kiki

p.s.

ansonsten müsstest du Produktregel anwenden und da wäre u = x
und v = 3.sqrt(blabla)

und im Zuge des Ableitens von v müsstest du noch einmal Produktregel und im Zuge dieser Produktregel noch einmal Kettenregel anwenden.

17.12.2004, 22:53

wurzelknirps

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Hallo kikira,

Zitat:

Original von kikira
das ist viel zu kompliziert, denn du kannst das umformen in:

[...]
f(x) = x * 3.sqrt(x * x^(1/3))
[...]
ansonsten müsstest du Produktregel anwenden und da wäre u = x
und v = 3.sqrt(blabla)

vielen Dank .. ja, jetzt sehe ich auch, dass ich den falschen Ansatz gewählt habe und den Wald vor lauter Bäumen nicht sah .. wieder was gelernt smile

ein ernüchterter
knirps

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