Gleichung mit zwei exp Funktion

17.12.2004, 17:05	Cranton	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung mit zwei exp Funktion Hab ne Gleichung der Form, $\begin{eqnarray} e^{-k_1\cdot x} + e^{-k_2\cdot x} =1 \end{eqnarray}$ Wie lös ich denn sowas nach x auf. k1 und k2 sind bekannt und sehen so aus. k2=2*k1. sollte aber nicht so wichtig sein. Maple rechnet mir schön ne Funktion aus, aber ich will auch den "Fussweg" wissen. Danke im Voraus Cranton
17.12.2004, 17:30	murray	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung mit zwei exp Funktion Allgemein ist dies nicht möglich, aber in diesem speziellen Fall (k2=2k1) ist die Lösung über eine Substitution möglich: $\begin{eqnarray} z=e^{-x\cdot k_{1}} \end{eqnarray}$ Dann hast eine Quadratische Gleichung mit: $\begin{eqnarray} z^{2}+z=1 \end{eqnarray*}$ Die löst einfach nach z auf und machst eine Rücksubstitution! (Achtung negative z sind natürlich nachträglich auszuschließen)! mfg
17.12.2004, 17:46	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Du meinst wohl nach x auflösen, es ist kein t in der Gleichung. Maple und auch die anderen CAS rechnen dies sicherlich nur numerisch, wenn die Werte für k1 und k2 eingegeben sind. Algebraisch dürfte es für diese Gleichung keinen Lösungsweg geben, was bleibt, ist die Methode eines Näherungsverfahrens. Gr mYthos
18.12.2004, 19:08	murray	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mythos: Aber du hast sicher gesehen, dass k2 = 2*k1 ? Denn hier gibt es eine symbolische Lösung! mfg
18.12.2004, 20:53	Cranton	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Mit der Substitution klappt es einwandfrei, Man muss es halt nur sehen. Werds mir hoffentlich für die Zukunft einprägen. Grüße Cranton
18.12.2004, 22:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@murray Ja, das ist klar. Ich hatte die allgemeine Gleichung, also k1, k2 beliebig, betrachtet und den Zusammenhang zwischen k1 und k2 nicht einbezogen. Dieser erschien ja Cranton (fälschlicherweise) auch gar nicht wichtig. Allerdings ist gerade dies für eine algebraische Lösbarkeit, wie von dir beschrieben, entscheidend. Die allgemeine Gleichung ist jedoch nicht elementar lösbar. Gr mYthos
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