Einfach zusammenhängendes Gebiet

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razer Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach zusammenhängendes Gebiet
Hallo Leute!

Ich soll untersuchen,ob die durch



definierte Punktmenge ein einfach zusammenhängendes Gebiet in C darstellt.

So,kabumm!!!Hä?In meinem Skript steht eigentl. nur mist drin,einfach zusammenhängend find ich da gar net...hab aber in nem Buch gesehen,dass einfach zusammenhängend wohl bedeuten soll,dass man jede geschlossene Kurve in M stetig auf einen Punkt zusammenziehen kann,ohne M dabei zu verlassen.Soll im R^2 bedeuten,dass man keine Löcher hat...
Kann mir das mal irgendwer verständlich machen und mir helfen,für das Bsp nen Ansatz zu finden?Stehe echt an...

Grüße!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfach zusammenhängendes Gebiet
Als erstes müsstest du rauskriegen, wie die Punktmenge aussieht (z.B. z = x +iy einsetzen und schauen). Dann sollte sich der Rest ergeben.

Deine Definition von einfach zusammenhängend stimmt.

Grüße Abakus smile
razer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfach zusammenhängendes Gebiet
Jap,na gut.
Hab jetzt mal z=x+iy eingesetzt und das hilft mir aber auch nicht recht weiter...
das hab ich mal:


Ich denk mir,dass ich da irgendwas mit dem Betrag machen muss,da der ja z und z_konj. verbindet...am Ende muss ja dann ein Gebiet rauskommen,dessen Rand durch eine Kurve verbunden ist oder?Hab ein Bild im Kreyszig gefunden...

Grüße!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfach zusammenhängendes Gebiet
Rechne das mal weiter aus. Quadrieren hilft dabei am Ende ggf. und . Der Zähler stimmt noch nicht ganz auch.

Grüße Abakus smile
razer Auf diesen Beitrag antworten »

Was stimmt denn mit dem Zähler nicht?
Also,ich komm auf


bzw wenn ich 's quadrier



was sagst du dazu?

Grüße!

p.s.:hat mein ti gerechnet...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von razer
Was stimmt denn mit dem Zähler nicht?
Also,ich komm auf


bzw wenn ich 's quadrier



OK, also war es doch richtig (ich hab falsch geguckt, im Nenner sehe ich aber ein Plus dann).

Jetzt noch weiter vereinfachen und die Lösungsmenge ermitteln:



Grüße Abakus smile
 
 
razer Auf diesen Beitrag antworten »

jaa hm und dann?Sry,steh grade auf der Leitung....
Ich kann ja den zweier wegmachen,dann steht da...



und was bedeutet das jetzt??

r.

edit:Schreibfehler
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt weiter ausrechnen. Links nach der 2-ten binomischen Formel... usw.

Grüße Abakus smile
razer Auf diesen Beitrag antworten »




Das mit den Ungleichungen ist schon lange her...ich darf doch addieren etcoder?und was sagt mir das jetzt?Oh mann,steh da echt auf dem Schlauch.. brauch ich net irgendeine geoem. Deutung des ganzen?

Grüße!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Gut ausgerechnet. Jetzt kannst du die Paare (x, y) bestimmen, die die Ungleichung erfüllen.

Dann solltest du eine Vorstellung von der zu untersuchenden Menge haben.

Grüße Abakus smile
razer Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder x ist null,dann kann y alles aus R sein oder eben umgekehrt
M = {(x,y) l x =0 v y=0}

?

r.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von razer
Entweder x ist null,dann kann y alles aus R sein oder eben umgekehrt
M = {(x,y) l x =0 v y=0}


Wenn x=0 ist, ist die linke Seite der Ungleichung Null und damit nicht kleiner als Null. Die Ungleichung muss erfüllt sein, wenn du Lösungen einsetzt.

Grüße Abakus smile
razer Auf diesen Beitrag antworten »

Ui sorry,hast du natürlich Recht.
Damit was kleineres als null rauskommt,muss das Produkt aus x und y positiv sein,das heißt,entweder es sind beide Element aus R+ oder beide aus R-
Stimmt das?

r.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. Damit besteht dein Gebiet also aus 2 Quadranten. Kann das nun wegzusammenhängend sein ?

Grüße Abakus smile
razer Auf diesen Beitrag antworten »

Vom Gefühl her nein,aber wie kann ich da argumentieren?

Gruß!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm dir je einen Punkt aus jedem Quadranten. Dann denke an den Zwischenwertsatz.

Grüße Abakus smile
razer Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich das mach,nochmal ne andere Frage:Es kann ja jedes positives Zahlenpaar und jedes negatives Zahlenpaar sein.Hat mein Gebiet bzw meine Lösungsmenge dann überhaupt einen Rand?

r.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden Achsen gehören nicht dazu, wie du schon gemerkt hast. Die würden den Rand bilden.

Grüße Abakus smile
razer Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe alles klarsmile
Ich kann die beiden Punkte aus den beiden Quadranten nur verbinden,indem ich eine der beiden Achsen schneide,diese gehören aber nicht dazu,weil ja sonst die Ungleichung nicht erfüllt wäre....?

Gruß,razer.

Edit:Zwischenwertsatz deswegen,weil die Funktion (also die verbindung der beiden Quadranten) eine Nullstelle annimmt....?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. Den Zwischenwertsatz kannst du etwa auf beide Komponentenfunktionen deines Weges anwenden und kriegst so einen Punkt auf den Achsen.

Grüße Abakus smile
razer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja,dann danke ich dir recht herzlich,bis zum nächsten mal!


Grüße,

razersmile
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