Wachstumsrate

17.12.2004, 21:54

Anaiwa

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Wachstumsrate

Angenommen, die relative Wachstumsrate iner durch die Funktion n: [0,oo) --> R beschreibenen Population ist konstant, d.h es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{N}\frac{dN}{dt}\equiv r \end{eqnarray*}$ auf (0,oo),

wobei r eine Konstante und es sei N(0) = No > 0.

1) Lösen sie die Differentialgleichung

Ich weiss nicht Hundertprozentig wie ich das machen soll, aber ich denke einmal:

$\begin{eqnarray*} \frac{dN}{dt}\equiv \frac{r}{\frac{1}{N}} \end{eqnarray*}$

Da ja da steh $\begin{eqnarray*} \frac{dN}{dt} \end{eqnarray*}$ denk ich das häng auch noch von t ab also schriebe ich diese gleichun hin:

$\begin{eqnarray*} \frac{dN}{dt}\equiv \frac{r}{\frac{1}{N}}+t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)= \frac{r}{\frac{1}{N}}+t \end{eqnarray*}$

so wenn das stimme, wie soll ich die lösen?

17.12.2004, 21:58

AD

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RE: Wachstumsrate
Hast du schon mal von "Trennung der Variablen" gehört, d.h.,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{N}~dN = r~dt\qquad \end{eqnarray*}$ ?

17.12.2004, 22:02

Anaiwa

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Nein das habe ich nicht, aber das rbingt mich nun auch nicht weitre wie ich sehe

17.12.2004, 22:07

AD

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RE: Wachstumsrate
Naja, von den Größen N und t steht auf der einen Seite der Gleichung nur N,
auf der anderen nur t - und dann kannst du integrieren und damit die Dgl lösen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{N(0)}^{N(T)}~\frac{1}{N}~dN = \int\limits_0^T~r~dt\qquad \end{eqnarray*}$

17.12.2004, 22:23

Anaiwa

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oh wie kommst du nun eigendlich drafu, das man mit integarl rechnet? differenzial ist doch irgendwie imme die ableitung?

17.12.2004, 22:29

AD

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Jetzt muss ich mal ganz simpel fragen:

Was weißt du bisher überhaupt über das Lösen von Differenzialgleichungen?

Das da letztendlich Integration im Spiel ist, sollte für jeden selbstverständlich sein, der auch nur die Anfangsgründe von Dgl's kennt.

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17.12.2004, 22:35

Anaiwa

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Also ich weiss wie man dies berechnet aber in zusammenhang mit der aufgabe wars mit nicht klar, nur das man von einer ableitung die stammfunktion suchen muss, wenn man integrieren moechte.

17.12.2004, 22:40

AD

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Nun, wie auch immer, Dgl'n wo eine solche "Trennung der Variablen" möglich ist, lassen sich durch einfache Integration beider Seiten in eine solche Form wie

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{N(0)}^{N(T)}~\frac{1}{N}~dN = \int\limits_0^T~r~dt\qquad \end{eqnarray*}$

überführen. Jetzt musst du nur noch die Integrale links und rechts ausrechnen, und kannst dann das ganze nach der gewünschten Funktion N(T) umstellen.

17.12.2004, 22:59

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{N}*t)_{N(0)}^{n(T)}=(r*t)_{0}^{T} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{N}*N(T)-\frac{1}{N}*N(0)=rT \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(T)=\frac{r*T}{\frac{1}{N}}+\frac{1}{N}*N(0) \end{eqnarray*}$

17.12.2004, 23:03

AD

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Die rechte Seite ist korrekt, also die Integration über t.

Die linke Seite wird aber über N integriert ("dN" !!!!!), also

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{N(0)}^{N(T)}~\frac{1}{N}~dN = \bigg[ \ln N \bigg]_{N=N(0)}^{N(T)}=\ln N(T) - \ln N(0)=\ln\frac{N(T)}{N(0)} \end{eqnarray*}$ .

17.12.2004, 23:07

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} ln(N(T))=\frac{r*T}{ln(0)} \end{eqnarray*}$ na toll und wie weiter? Und recht hast du auch, da ja 1/x dx auch lnx ist ^^

17.12.2004, 23:13

AD

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Ruhig bleiben, und richtig umformen - wir stehen jetzt bei

$\begin{eqnarray*} \ln\frac{N(T)}{N(0)}=rT \end{eqnarray*}$

Und das ist nur noch nach N(T) umzuformen!

(Und bitte, bitte nicht wieder die Logarithmen- oder Potenzgesetze vergewaltigen.)

17.12.2004, 23:24

Anaiwa

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ruhig bleiben, und richtig umformen - wir stehen jetzt bei

Und das ist nur noch nach N(T) umzuformen!

(Und bitte, bitte nicht wieder die Logarithmen- oder Potenzgesetze vergewaltigen.)

$\begin{eqnarray*} \ln\frac{N(T)}{N(0)}=rT \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln\frac{N(T)}{N(0)}=ln(N(T))-ln(N(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(N(T))-ln(N(0))=rT \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(N(T)=rT+ln(N(0)) \end{eqnarray*}$

17.12.2004, 23:30

AD

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OK, ich hab heute keine Nerven mehr:

N(T) ist der Funktionswert von N zur Zeit T - und nicht das Produkt N*T.

Als Lösung kommt raus

$\begin{eqnarray*} N(T)=N(0)\cdot e^{rT} \end{eqnarray*}$ .

Gute N8

P.S.: Ich hoffe stark, es ist nicht Mathematik, was du studierst.

17.12.2004, 23:41

Anaiwa

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Ich habe ja auch nicht mal gemeint war nur zufaulklammernn zu setzten.
Nein ich bin doch nicht irre und studiere MAthe! ich muss mich nur ein semster damit rumschlagen wenn ich es schaffe.

welches potezgeset hast du dann angewand?

$\begin{eqnarray*} log_e\frac{N(T)}{N(0)}=rT <-> e^{rt}=\frac{N(T)}{N(0)} <-> N(0)*e^{rt}=N(T) \end{eqnarray*}$

^^ so das dummer log gesetz $\begin{eqnarray*} log_ab=c <-> a^c=b \end{eqnarray*}$

na dann hast recht hab die vergewaltigt die teile gg

18.12.2004, 04:09

Poff

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$\begin{eqnarray*} ln(N(T))=rT+ln(N(0)) \end{eqnarray*}$

.. ist richtig, aber noch nicht nach N(T) aufgelöst :-o

du hättst das Ziel auch einfacher erreichen können
( e^ln(x) = x ), also

e^( ln(N(t)/N(0)) ) = N(T)/N(0) == ...

mach du nun mal deine Variante zu Ende .. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.12.2004, 18:56

Anaiwa

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@Proff

also mit meiner Variante komm ich nicht weiter, da wo ich nun das ergebnis hatte habe ich mir aus Tafelwerg das rausgesucht und danahc umgestellt:

$\begin{eqnarray*} log_e\frac{N(T)}{N(0)}=rT <-> e^{rt}=\frac{N(T)}{N(0)} <-> N(0)*e^{rt}=N(T) \end{eqnarray*}$

Gerechnet mit:

$\begin{eqnarray*} log_ab=c <-> a^c=b \end{eqnarray*}$

18.12.2004, 19:06

iammrvip

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klar kommst du mit deiner variante weiter:

denn es gilt immer die beziehung

$\begin{eqnarray*} u = e^{ln(u)} \end{eqnarray*}$ also auch $\begin{eqnarray*} N(T) = e^{ln(N(T))} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(N(T))=rT+ln(N(0)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{ln(N(T))} = e^{rT+ln(N(0))} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{ln(N(T))} = e^{rT}\cdot e^{ln(N(0))} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(T) = e^{rT}N(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(T) = N(0)e^{rT} \end{eqnarray*}$

wenn wieder mal ein DGL auftaucht, kannst du ja mal hier vorbeischauen. dort sind einige beispiele besprochen. auch in anderen theard findest du was dazu. mit bloß der als erster eingefallen Freude

Freude

.

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