Potenzreihenverständnis

17.12.2004, 23:24

sven 1983

Potenzreihenverständnis

hi
habe folgendes Problem und bin mir nicht sicher ob ich das richtig verstanden habe:

E(x) = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~(\frac{x^{k}}{k!} ) \end{eqnarray*}$
ich will nun den konvergenzradius:
dazu:

R= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\limsup \frac{a_n+1}{a_n} } \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\limsup \sqrt[k]{\frac{x^{k}}{k!}} } \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \limsup x\sqrt[k]{\frac{1}{k!}} } \end{eqnarray*}$

da lim sup eine monoton fallende funktion ist, ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\frac{1}{k!} } \end{eqnarray*}$ Minorrante für k=0

=> mit k=0: $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\frac{1}{k!} } \end{eqnarray*}$ =1

=> R= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

da |x| > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist diese Potenzreihe divergent.

stimmt das?

18.12.2004, 00:23

JochenX

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RE: Potenzreihenverständnis

Zitat:

Original von sven 1983
hi
habe folgendes Problem und bin mir nicht sicher ob ich das richtig verstanden habe:

E(x) = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~(\frac{x^{k}}{k!} ) \end{eqnarray*}$
ich will nun den konvergenzradius:
dazu:

R= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\limsup \frac{a_n+1}{a_n} } \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\limsup \sqrt[k]{\frac{x^{k}}{k!}} } \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \limsup x\sqrt[k]{\frac{1}{k!}} } \end{eqnarray*}$

was will uns das denn sagen?!

Zitat:

da lim sup eine monoton fallende funktion ist, ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\frac{1}{k!} } \end{eqnarray*}$ Minorrante für k=0

was willst du damit aussagen? eine minorante ist eine divergente folge, die stets kleiner als eine andere folge (beide folgen größer null) ist.
wenn die reihe über der minoranten divergiert, divergiert auch die reihe über der anderen folge.....
deine aussage verstehe ich hier also nicht...

Zitat:

=> mit k=0: $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\frac{1}{k!} } \end{eqnarray*}$ =1

du bestimmst doch den limsup für k->unendlich?! wieso ist k=0?
und wie ist denn die 0.te wurzel aus 1 definiert?!

Zitat:

=> R= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

da |x| > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist diese Potenzreihe divergent.

stimmt das?

ne also das verstehe ich alles nicht. und |x|>1/x stimmt z.b. für x=0,5 nicht....

also lieber noch mal ganz von vorne: da du hier fakultäten hast bietet sich das quotientenkriterium an.
quotientenkriterium: a_n folge wenn $\begin{eqnarray*} \mid \limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\mid <1 \end{eqnarray*}$ , dann hast du konvergenz der reihe über a_n.
wenn das gleich = 1 ist hast du keine aussage und bei >1 hast du divergenz.

also betrachtest du nun deinen limsup und kannst nun die x bestimmen für die er eben gerade betragsmäßig größer, kleiner, gleich 1 ist.
damit weißt du, wann die reihe divergiert, konvergiert und welche randwerte du betrachten musst.

beispiel: limsup sei 2*x, dann hast du konvergenz für |x|<0,5 du hast divergenz für |x|>0,5 (nicht scheu sein: einfach nachrechnen, für welche werte ist |limsup|<1 ?!, für welche >1...) und musst die grenzen x=0,5 und x=-0,5 noch extra nachprüfen.

also jetzt bist nochmal du dran!
mfg jochen

edit: latex zu vergessen, ist ja auch schon spät
edit2: und fehler massenhaft gefunden

18.12.2004, 00:59

sven 1983

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hmm ok muss dir rechtgeben, gibt echt keinen sinn was ich da gemacht hab.werd das ganze nochmal von vorne übergehen...

18.12.2004, 02:08

JochenX

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jupp gute idee Freude

und danach schön hier posten, was du herausgefunden hast... der vollständigkeit wegen....

mfg und gute nacht, jochen

18.12.2004, 11:41

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RE: Potenzreihenverständnis
Bevor sich hier ein grundlegender Fehler festsetzt:

Der Wert

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \end{eqnarray*}$

ist i.a. nicht das Reziproke des Konvergenzradius der Potenzreihe!!!

Einfaches Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a_n=\left\{ \begin{array}{ll} 1 &\;\mbox{für}\; n\;\mbox{ungerade}\\2 &\;\mbox{für}\; n\;\mbox{gerade}\end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=2 \end{eqnarray*}$

der Konvergenzradius der zugehörigen Potenzreihe ist aber nicht 1/2, sondern 1.

(Mit dem Limes Superior sollte man nicht so leichtfertig umgehen! unglücklich

)

18.12.2004, 12:28

JochenX

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wieso? bitte etwas genauer arthur.

also ich habe das so gelernt, das die reihe konvergiert, wenn der limsup eben betragsmäßig kleiner als 1 ist..... wo ist da der denkfehler?
wenn du also die potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~a_n*x^n (a_n \text{ist deine folge}) \end{eqnarray*}$ hast, so divergiert diese auf jeden fall für die grenzen x=1, x=-1...
okay irgendwie sehe ich das mit dem potenzradius als offenes intervall von (-1,1) ein, aber wo muss man dann aufpassen? wie ist dann die beste möglichkeit den PR zu berechnen?

mfg jochen

18.12.2004, 12:43

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RE: Potenzreihenverständnis
OK, dann "etwas" genauer:

Zunächst mal ist

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}=:\frac{1}{r} \end{eqnarray*}$

tatsächlich das Reziproke des Konvergenzradius r, inklusive der Extremfälle r=unendlich (also Potenzreihe konvergiert immer) und r=0 (Konvergenzreihe konvergiert nur für x=0).

Ebenfalls möglich ist (im Falle der Existenz des Grenzwertes) die Aussage

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{r} \end{eqnarray*}$ .

Aber aus

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=:\frac{1}{s} \end{eqnarray*}$

kann man höchstens r>=s schlußfolgern!

Zudem ist dieses Kriterium nicht anwendbar für Reihen mit unendlich vielen Nullen als Koeffizienten ...

---------------------------

Ach ja, und grundsätzliches zu Potenzreihen mit endlichem r>0:

Absolute Konvergenz für |x|<r und Divergenz für |x|>r .

Für x=r und x=-r kann im Einzelfall alles mögliche passieren, also
* absolute Konvergenz,
* Konvergenz, aber keine absolute Konvergenz, oder aber
* Divergenz.

Beispiele dafür gibt es zuhauf, bei Bedarf bitte melden. Augenzwinkern

18.12.2004, 13:38

JochenX

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Zitat:

Für x=r und x=-r kann im Einzelfall alles mögliche passieren

jupp das ist klar, das haben wir dann in analysis 1 immer noch nachgerechnet.... macht ja auch sinn, denn für limsup=1 ist ja keine aussage machbar...

das heißt also: wenn es einen eindeutigen grenzwert gibt, funktioniert das immer (das ist schon mal sehr gut, das zu wissen).
wenn es hingegen mehrere häufungspunkte gibt, so kann man beim quotientenkriterium nicht direkt alles über den konvergenzradisu aussagen, nur das dieser größergleich 1/limsup ist, das es also für betragsmäßig kleinere werte konvergiert....
aber wurzelkriterium funktioniert immer so?!

Zitat:

Zudem ist dieses Kriterium nicht anwendbar für Reihen mit unendlich vielen Nullen als Koeffizienten ...

wegen teilen durch 0, oder wieso?!

danke auf jeden fall mal! schön, das man hier noch so einiges lernen kann!

mfg jochen

18.12.2004, 13:48

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Zitat:

Original von LOED
wegen teilen durch 0, oder wieso?!

Na sicher doch!

Du kannst zwar in dem Fall das ganze im heuristischen Sinne als

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\infty \end{eqnarray*}$

deuten, aber dann ist s=0 (s wie oben), und damit gewinnst du die äußerst wertvolle ( Big Laugh

) Information r >= 0 .

18.12.2004, 14:00

JochenX

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argh, richtig.... da habe ich wieder nicht weit genug gedacht.... unglücklich

okay... so gesehen macht es absolut sinn....
daher kann man mit dem Quotientenkriterium auch nicht berechnen, ob eine "normale" reihe konvergiert, wenn die zugehörige folge unendlich viele nuller hat...

aber nehmen wir an, die folge habe eine teilfolge die stets gleich null ist (z.b. a_n=0 für jedes gerade n), dann kann ich ja einfach nur die restfolge betrachten, oder (also in dem fall alle ungeraden zahlen)?

sei z.b. $\begin{eqnarray*} a_n=0 \text{ für n gerade und } a_n=(-1)^n*\frac{1}{n^2} \text {sonst} \end{eqnarray*}$
(-1)^n=-1 für ungerade n, also würde ich folgendes vermuten: die reihe über der folge a_n konvergiert, weil auch die reihe über -1/n² konvergiert, oder?

mfg jochen

18.12.2004, 14:00

sven 1983

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also erstmal danke, denke bin nun auf der richtigen schiene smile

komme nun mit dem quoitentenkriterium auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{1}{k+1} \Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

darausfolgt:

$\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{0} \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

dadurch ist die Potenzreihe doch nun best. divergent.

das einzige was ich noch net ganz ralle ist, ist das mit |x|>R oder kleiner |x|<R. wie erkennt man da, das R größer/kleiner oder gleich ist? bei unendlich ist das ja offensichtlich, aber beim rest, wenn R nun =1 wäre?

18.12.2004, 14:09

JochenX

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also zunächst mal: dein limes von 1/(k+1) konvergiert nicht gegen 0, sondern er ist =0... aber das ist nur ein schönheitsfehler...

Zitat:

dadurch ist die Potenzreihe doch nun best. divergent

ne also für x=0 ist jede solche potenzreihe konvergent (nachdenken!).
deine potenzreihe ist sogar für alle x konvergent, denn der konvergenzradius R sagt ja aus, aus welchem inetrvall du x wählen darfst, damit die reihe konvegiert...
und da hast du hier (-unendlich,+unendlich) also alle x.

Zitat:

wenn R nun =1 wäre

also nehmen wir an, du hättest R über einen eindeutigen limes bestimmt (damit auch arthurs aussage zutrifft)...
dann wäre deine reihe konvergent für x betragsmäßig kleiner 1, also x aus (-1,1)
deine reihe wäre divergent für x betragsmäßig größer 1.
und du könntest noch keinen aussage machen für x=1, x=-1, das müsstest du noch extra nachrechnen.
um das zu mit den grenzen zu verdeutlichen, können wir ja doch noch auf arthurs angebot zurückkommen.... Augenzwinkern

Zitat:

Für x=r und x=-r kann im Einzelfall alles mögliche passieren, also
* absolute Konvergenz,
* Konvergenz, aber keine absolute Konvergenz, oder aber
* Divergenz.

Beispiele dafür gibt es zuhauf, bei Bedarf bitte melden.

ich glaube bei sven herrscht bedarf und ich müsste da erst grübeln...

mfg jochen

18.12.2004, 14:11

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@sven 1983

Nein!!!! Du hast doch $\begin{eqnarray*} R=\infty \end{eqnarray*}$ richtig ausgerechnet. Das bedeutet, dass für alle |x|<R, und das sind in diesem Fall alle reellen Zahlen x die Reihe konvergent ist.

@LOED

Man kann natürlich für Spezialfälle wie in dem von dir angeführten Beispiel eigene angepasste Kriterien aufstellen, fraglich, ob sich das lohnt:

Solch eine Potenzreihe mit a_n=0 für gerade n kann man ja mit n=2k+1 auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{2k+1} x^{2k+1}=x\cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} b_k z^k \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} b_k=a_{2k+1} \end{eqnarray*}$ und z=x², und dann kannst du wieder zu den Originalkriterien zurückkehren, usw.

EDIT (Noch ein schönes Beispiel):

Einfach die Nullen streichen, und für die "Restfolge" Quotienten bilden, kann auch in die Hose gehen:

Betrachte zum Beispiel eine Potenzreihe mit $\begin{eqnarray*} a_{n!}=n!\quad \end{eqnarray*}$ , alle anderen Koeffizienten seien Null.

Wenn du jetzt alle Nullen streichst, und die Quotienten der restlichen Koeffizienten bildest, kommst du auf einen Limes Superior gleich Unendlich.
Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist aber 1.

18.12.2004, 14:26

JochenX

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okay, das mit dem KR 1 glaube ich dir mal.... schönes beispiel.... danke

18.12.2004, 16:55

sven 1983

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danke jungs, war ne schwere geburt aba es hat geklappt

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