Aufgabe über e-Funktion (andere Lösung möglich?)

29.04.2007, 13:17

fraggelfragger

Aufgabe über e-Funktion (andere Lösung möglich?)

Gegeben:
$\begin{eqnarray*} f(x) =\frac{9}{2} -\frac{1}{2}e^{-x} \end{eqnarray*}$

Die Tangente mit der Funktionsgleichung $\begin{eqnarray*} h(x) = \frac{1}{2}x +4 \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} K_f \end{eqnarray*}$ geht durch den Punkt (0/4).
Begründen sie: Alle anderenTangenten an das Schaublid K_f schneiden die y-Achse oberhalb von P.
Lösungsansatz:
da: $\begin{eqnarray*} f''(x) = -\frac{1}{2}e^{-x} < 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Ist die Funktion rechtsgekrümmt für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

und deshalb ist $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2}e^{-x} > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
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Lösung schön und gut, doch mich interessiert noch ein anderer Lösungsweg: und zwar könnte man das ganze auch mit eine Tangentenschaar beschreiben und beweisen?

Quasi so in der Art: $\begin{eqnarray*} t_b(x) = f'(x) x + b \end{eqnarray*}$

und dann sagen das $\begin{eqnarray*} t_b(0) \geq 4 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist?

Kann man das so machen oder ist das nicht richtig?
Muss ich dazu noch etwas ergänzen damit es vollständig ist?

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mfg

29.04.2007, 13:50

mercany

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Bestimme dochmal allgemein die Tangente.

Du kanns es auch über den Verlauf der e-Funktion zeigen.

29.04.2007, 14:13

fraggelfragger

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Zitat:

Original von mercany
Bestimme dochmal allgemein die Tangente.

welche die h(x) ist ja gegeben diese ist die einzige die durch den Punkt (0/4) geht alle andere gehen oben drüber. Allgemein ist doch diese schon oder? $\begin{eqnarray*} t_b(x) = f'(x) x + b \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von mercany
Du kanns es auch über den Verlauf der e-Funktion zeigen.

Verlauf von 3. in 1. Quadranten
für $\begin{eqnarray*} x \Rightarrow - \infty \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} y = \infty \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} x \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} y < 4,5 \end{eqnarray*}$

und wie gehts nun weiter?

30.04.2007, 15:57

fraggelfragger

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kann keiner mir ein Statement zum meiner anderen Lösung abgeben?
die vom ersten Post:

Zitat:

--------------------------------
Lösung schön und gut, doch mich interessiert noch ein anderer Lösungsweg: und zwar könnte man das ganze auch mit eine Tangentenschaar beschreiben und beweisen?

Quasi so in der Art: $\begin{eqnarray*} t_b(x) = f'(x) x + b \end{eqnarray*}$

und dann sagen das $\begin{eqnarray*} t_b(x) \geq 4 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist?

Kann man das so schreiben oder ist das nicht richtig?
Muss ich dazu noch etwas ergänzen damit es vollständig ist?
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