Extrema

29.04.2007, 14:00

Bujashaka

Extrema

Ich muss die lok. Extrema einer Funktion f(x,y) bestimmen und habe als NB $\begin{eqnarray*} x^2+y^2<2 \end{eqnarray*}$ .

Was fange ich denn mit der Nebenbedingung an? Wäre es $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=2 \end{eqnarray*}$ hätte ich keine Schwierigkeiten damit.

29.04.2007, 17:38

Abakus

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RE: Extrema
Wie sieht denn f aus ? (davon hängt sicher viel ab erstmal) Und was behandelt ihr gerade ? Kennst du die Sätze von Kuhn-Tucker ?

Grüße Abakus smile

29.04.2007, 19:01

Bujashaka

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RE: Extrema
Wink

Also mit Kuhn-Tucker kann ich leider nichts anfangen. Es geht um Extremstellen und Nebenbedingungen etc.

$\begin{eqnarray*} f(x, y) =3/5x-y^2+ln(x^2 + y^2 + 1)-ln 3 \end{eqnarray*}$

Gehen sowas mit dem Lagrange Multiplikator an. Wie gesagt, an dem Verfahren scheitert es nicht bei mir. Nur ich weiss nicht wie ich mit der Nebenbedingung umgehen soll smile

29.04.2007, 19:20

Abakus

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RE: Extrema
Du meinst:

$\begin{eqnarray*} f(x, y) = \frac 3 5 x - y^2 + \ln(x^2 + y^2 + 1) - \ln 3 \end{eqnarray*}$ ?

Du kannst dir überlegen, was die Nebenbedingung für eine Menge beschreibt. Die lokalen Extrema werden entweder auf dem Rand liegen oder eben im Inneren. Beides kannst du berechnen (ersteres mit Lagrange, letzteres durch normale Untersuchung).

Grüße Abakus smile

30.04.2007, 13:06

Bujashaka

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RE: Extrema
Verstehe ich nur zum Teil. Also die Menge beläuft sich ja auf alles, was kleiner 2 ist und kann ja bis minus unendlich gehen.

Und was ich nun mit der NB anstellen muss, verstehe ich auch nicht smile

Um mit Lagrange zu rechnen, muss ich $\begin{eqnarray*} L(x,y,z,\lambda) \end{eqnarray*}$ aufstellen.

Hätte ich jetzt $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=2 \end{eqnarray*}$ wäre es:

$\begin{eqnarray*} \frac 3 5 x - y^2 + \ln(x^2 + y^2 + 1) - \ln 3 + \lambda*(x^2+y^2-2) \end{eqnarray*}$ , aber nein, ich habe da ja ein < anstatt eines =.

Könnte man mir nicht den ersten Schritt aufschreiben?

30.04.2007, 13:55

Abakus

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RE: Extrema

Zitat:

Original von Bujashaka
Verstehe ich nur zum Teil. Also die Menge beläuft sich ja auf alles, was kleiner 2 ist und kann ja bis minus unendlich gehen.

Und was ich nun mit der NB anstellen muss, verstehe ich auch nicht smile

Du solltest zunächst einmal erkennen, was für eine Menge durch die Nebenbedingung beschrieben wird und wie die genau aussieht. Insbesondere: ist die Menge beschränkt (ja) und hat sie einen Rand, der zur Menge gehört (nein) ?

Wenn du das erkannt hast, kannst du Überlegungen anstellen, welche Bedingungen ein lokales Extremum erfüllen muss und wie du es berechnest. Insbesondere kannst du überlegen, wozu du die Lagrange-Methode hier einsetzen willst.

Grüße Abakus smile

30.04.2007, 20:51

Bujashaka

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RE: Extrema
Ich verstehe nur noch Bahnhof verwirrt

Habe aber eine andere Möglichkeit gefunden:

Ich bilde den grad von f und setze diesen gleich Null. So bekomme ich die stationären Punkte von f. Diese setze ich in die Gleichung von K ein und gucke, ob sie $\begin{eqnarray*} x^2+y^2<2 \end{eqnarray*}$ erfüllen. Wenn ja ist es ein Extremum von f auf K!?

Danach habe ich aber ein weiteres Problem: Man soll die Extrema von f auf dem Rand dK.# bestimmen. Heißt das, ich muss die Kugelgleichung nach x,y ableiten?

01.05.2007, 13:21

Bujashaka

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RE: Extrema
Kann das jemand bestätigen?

01.05.2007, 18:20

Abakus

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RE: Extrema

Zitat:

Original von Bujashaka
Ich bilde den grad von f und setze diesen gleich Null. So bekomme ich die stationären Punkte von f. Diese setze ich in die Gleichung von K ein und gucke, ob sie $\begin{eqnarray*} x^2+y^2<2 \end{eqnarray*}$ erfüllen. Wenn ja ist es ein Extremum von f auf K!?

Ja, genau das meinte ich. Was kommt nun raus dabei ?

Zitat:

Danach habe ich aber ein weiteres Problem: Man soll die Extrema von f auf dem Rand dK.# bestimmen. Heißt das, ich muss die Kugelgleichung nach x,y ableiten?

Statt einer Kugel hast du nur einen Kreis. Und hier kannst du die Lagrange-Methode anwenden, wie du es vorhattest. Die Kreisgleichung ableiten bringt dir wohl nichts.

Grüße Abakus smile

01.05.2007, 19:43

Bujashaka

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Habe ein lok. Min. für P(-3/10, 3/10) bekommen.

Also bei der nächsten Teilaufgabe mache ich folgendes:

- Nehme $\begin{eqnarray*} L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda (x^2+y^2-2) \end{eqnarray*}$

- leite einmal nach x, y und Lambda ab und löse $\begin{eqnarray*} L_x(..) \end{eqnarray*}$ nach x auf

- bekomme $\begin{eqnarray*} x=\frac{-9}{20\lambda} \end{eqnarray*}$ , y = 0 und erhalte: Lambda= +- 0,31

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