Dimensionsatz |
| 18.12.2004, 13:40 | bier | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Dimensionsatz Seien U1 und U2 Unterräume von V. Man beweiß das ja son indem man erst eine Basis B0 von B1 geschnitten B2 wählt und dann diese jeweils zu einer Basis von B1 und B2 ergänzt. Dann vereinigt man diese Basen (also B1 und B2) und muss nun nachweisen, dass dies wieder eine Basis ist. Also auch, dass diese Vereinigung lin. unabh. ist. B0 geschn. B2={v1,....,vm} B1 ={v1,....,vm,vm+1,...vr} B2 ={v1,....,vm,wm+1,...,wt} B1 u B2:=C C={v1,....,vm,vm+1,...vr,wm+1,...,wt} nun nimmt man an dies wäre nicht lin. unab., dann gäbe es also auch: ****Und jetzt blick ichs nicht mehr, denn das soll nun Element von U1 geschnitten U2 sein. Warum? Der Beweis geht dann weiter, indem gesagt wird, dass es nun Skalare a1 bis am geben muss für die gilt: Da aber die Menge {} linear unabhängig ist, folgt daraus, dass h_m+1=...=h_t=0 Dann ist die Ausgangs-Linearkombination aber eine Linearkombination von Vektoren aus B1 und somit sind alle Koeffizienten Null. Kann mir das jemand ab, oder zumindest mal die Stelle **** verständlich machen? |
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| 18.12.2004, 23:22 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » |
die Gleichung wo du 'also auch' geschrieben hast, kannst du als Inditität von 2 Vektoren ansehen. Die linke Seite ist ein Vektor, und zwar eine Linearkombination aus v1 bis vr, daher der Basis B1, also ist die linke Seite ein Vektor aus U1. Die rechte Seite ist eine Linearkombination von Vektoren w1 bis wm also aus B2, damit ist die rechte Seite ein Vektor aus U2. Da beide Darstellungen gleich sind, ist der Vektor aus U1 geschnitten U2. Damit folgt dann, dass er sich auch als Linearkombination aus v1 bis vm darstellen lässt und dass ist die nächste Gleichung die du aufgeschrieben hast. |
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