Frage zu Topologie

Neue Frage »

VLenz Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Topologie
Hallo,

Habe eine Frage zur Topologie und zwar geht es um das Lemma von Urysohn und die Fortsetzung von Tieze.

Urysohn: Ist X ein Raum und sind A, B disjunkte, nichtleere, abgeschlossene Mengen in X, dann gibt es eine stetige Funktion f: X --> [0,1] mit f(A)= {o} und f(B)={1}


Fortsetzung von Tieze: Ein Topologiescher Raum ist genau dann ein - Raum, wenn sich jede auf einer abgeschlossenen Teilmenge A von X definierte stetige Funktion auf ganz X stetig fortsetzen lässt.

Nun meine Frage: Warum muss hier die Menge A abgeschlossen sein?

Klar, nach vorraussetzung von einem - Raum.

Als Gegenbeispiel wird bei mir die Funktion f(x)= 1/x angeführt. Aber warum?? das verstehe ich nicht.

Ok, wenn X= ist, dann ist die Funktion f(x)=1/x auf der offenen Teilmenge A= \{0} definiert und stetig. Wie kann ich da nun einen Rückschluss bilden, dass in den oben erwähnten Definitionen die Menge abgeschlossen sein muss?

Ich werde sehr dankbar, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen kann.

Viele Grüße
VLenz
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Topologie
Offenbar ist der Definitionsbereich von f nicht abgeschlossen. Lässt sich f nun stetig auf ganz fortsetzen ? Wenn nein, hast du gezeigt, dass sich die Voraussetzung "abgeschlossen" nicht weglassen lässt.

Grüße Abakus smile
VLenz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Topologie
Hallo Abakus,

ja, stimmt vielen Dank. Genau Deine Antwort ist mir vorhin beim essen, auch gekommen, als ich mir das ganze noch einmal durch den Kopf gehen hab lassen.

Auf jedenfall vielen Dank! Wünsche Dir noch einen schönen sonntag!

Viele Grüße
VLenz
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »