Minimalpolynom der Inversen

29.04.2007, 16:49

Hügel

Minimalpolynom der Inversen

Hallo

Ich habe hier folgende Aufgabe vor mir.

Sei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ invertierbar mit Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} p = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_{n-1}x^{n-1} + x^n \end{eqnarray*}$
Man zeige, dass $\begin{eqnarray*} a_0 \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q = {1 \over a_0} (1 + a_{n-1}x + a_{n-2}x^2 + ... + a_1x^{n-1} + a_0x^n) \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \alpha^{-1} \end{eqnarray*}$ ist.

Dass $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ nicht Null sein kann, könnte ich mir ungefähr vorstellen. Allerdings weiß ich nicht, wie an den zweiten Teil der Aufgabe rangehen könnte. unglücklich

Es gilt doch $\begin{eqnarray*} p(\alpha) = 0 \end{eqnarray*}$ , oder? Jetzt müsste ich doch irgendwie zeigen, dass $\begin{eqnarray*} q(\alpha^{-1}) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt. (Und dass q das Polynom kleinsten Grades mit dieser Eigenschaft ist.)
Leider habe ich überhaupt keine Ahnung, wie ich da ansetzen soll. Ich habe nämlich ehrlich gesagt keine Vorstellung, wie $\begin{eqnarray*} \alpha^{-1} \end{eqnarray*}$ aussehen könnte.

Kann mir hierbei jemand helfen, einen Ansatz zu finden? smile

29.04.2007, 20:21

Abakus

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RE: Minimalpolynom der Inversen

Zitat:

Original von Hügel
Es gilt doch $\begin{eqnarray*} p(\alpha) = 0 \end{eqnarray*}$ , oder?

Genau. Das schreibst du am Besten mal explizit aus und wendest eine geeignete Potenz von $\begin{eqnarray*} \alpha^{-1} \end{eqnarray*}$ an. Du solltest dann etwas sehen.

Grüße Abakus smile

29.04.2007, 21:48

Hügel

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Ich würde dann so rechnen:
$\begin{eqnarray*} 0 = p(\alpha) = a_0 + a_1 \alpha + a_2 \alpha^2 + ... a_{n-1} \alpha^{n-1} + \alpha^n \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt ganz naiv mit $\begin{eqnarray*} {(\alpha^{-1})}^n = \alpha^{-n} \end{eqnarray*}$ (???) multiplizieren würde, käme ich auf
$\begin{eqnarray*} 0 = a_0*\alpha^{-n} + a_1 \alpha^{1-n} + a_2 \alpha^{2-n} + ... + a_{n-1} \alpha^{-1} + 1 \end{eqnarray*}$
Dann normiere ich das ganze noch, indem ich durch $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ teile.

Allerdings kann ich mir nicht ganz vorstellen, dass ich hier die Exponenten einfach so als normale Zahlen ansehen kann, und daher so rechnen kann, wie ich es oben getan habe. verwirrt

Anderesseits sieht es ja so ganz schön aus Augenzwinkern

Auf jeden Fall schonmal Danke für den Hinweis. Freude

30.04.2007, 11:21

Abakus

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Zitat:

Original von Hügel
Allerdings kann ich mir nicht ganz vorstellen, dass ich hier die Exponenten einfach so als normale Zahlen ansehen kann, und daher so rechnen kann, wie ich es oben getan habe. verwirrt

Du multiplizierst natürlich auf beiden Seiten n-mal zb von rechts die Inverse ran und rechnest dann beide Seiten der Gleichung und Berücksichtigung der Linearität aus.

Links steht ein Produkt mit der Nullmatrix, rechts musst du die Linearität anwenden und berücksichtigen, dass ja jeder Summand auch wieder eine Matrix ist (statt der 1 steht da einmal die Einheitsmatrix).

Analog könntest du mit linearen Operatoren statt mit Matrizen argumentieren. Das $\begin{eqnarray*} {(\alpha^{-1})}^n := \alpha^{-n} \end{eqnarray*}$ würde ich so definieren.

Grüße Abakus smile

EDIT: wieso q dann das MP ist, wäre natürlich noch genau zu begründen

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