Differenzieren einer Sprungfunktion

29.04.2007, 17:34

Es grünt so grün

Differenzieren einer Sprungfunktion

Wenn man den eine Sprungfunktion differentieren möchte, z.B.:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{\begin{array}{c}x - 1, x < 0 \\ x + 2, x \ge 0\end{array}\right\} \end{eqnarray*}$

Angenommen, ich wollte die Steigung in x = 0 berechnen - reicht es, sich von einer Seite her der 0 zu nähern, oder ist die Formel in 0 nicht differenzierbar?

29.04.2007, 17:42

Abakus

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RE: Differenzieren einer Sprungfunktion
Was sagt dir die Anschauung über die Stelle bei 0 ? Ist die Funktion dort zB stetig (was für Differenzierbarkeit dort notwendig wäre) ?

Grüße Abakus smile

29.04.2007, 18:17

Es grünt so grün

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RE: Differenzieren einer Sprungfunktion
Wäre die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{\begin{array}{c}x - 1, x \le 0 \\ x + 3, x \ge 0 \end{array}\right\} \end{eqnarray*}$

dann wäre mir das klar. Das Problem ist, dass der Sprung nicht bei x = 0, sondern bei x < 0 ist, d.h. für x = 0 ist f(x) eindeutig.

Wie sähe es denn z.B. bei folgender Funktion aus?:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{\begin{array}{c}2 + x, x < 0 \\ \frac{2}{1 + x}, x \ge 0 \end{array}\right\} \end{eqnarray*}$

Dann ist der Punkt 0 eindeutig und offensichtlich stetig - reicht es dann, sich von einer Seite aus zu nähern?

29.04.2007, 19:08

Abakus

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RE: Differenzieren einer Sprungfunktion

Zitat:

Original von Es grünt so grün
Wäre die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{\begin{array}{c}x - 1, x \le 0 \\ x + 3, x \ge 0 \end{array}\right\} \end{eqnarray*}$

dann wäre mir das klar. Das Problem ist, dass der Sprung nicht bei x = 0, sondern bei x < 0 ist, d.h. für x = 0 ist f(x) eindeutig.

f kann bei 0 nicht 2 verschiedene Funktionswerte haben. Das ist keine sinnvolle Definition.

Zitat:

Wie sähe es denn z.B. bei folgender Funktion aus?:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{\begin{array}{c}2 + x, x < 0 \\ \frac{2}{1 + x}, x \ge 0 \end{array}\right\} \end{eqnarray*}$

Dann ist der Punkt 0 eindeutig und offensichtlich stetig - reicht es dann, sich von einer Seite aus zu nähern?

Du meinst dieses f hat keinen Sprung und f ist stetig (nicht der Punkt). Bei Differenzierbarkeit muss rechts- und linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten übereinstimmen, demnach brauchst du Näherung von beiden Seiten.

Grüße Abakus smile

29.04.2007, 19:14

Es grünt so grün

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RE: Differenzieren einer Sprungfunktion
Ok - Danke!

29.04.2007, 20:32

Es grünt so grün

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RE: Differenzieren einer Sprungfunktion
Jetzt habe ich doch nochmal eine Frage - angenommen, ich möchte nachweisen, dass

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{\begin{array}{c}2 + x, x < 0 \\ \frac{2}{1 + x}, x \ge 0\end{array}\right\} \end{eqnarray*}$

in x = 0 differenzierbar ist - wie gehe ich das an? Ich habe versucht einfach mit sowas die Ableitung zu bilden:

$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \end{eqnarray*}$

Aber komme da auch nicht so wirklich zu einem brauchbaren Ergebnis. Welchen Ansatz kann ich da nehmen? Vielleicht reicht es, zu zeigen dass beide Funktionen (x + 2 und 2/(1 + x)) die 0 auf die 2 abbilden? (x + 0 = 2 = 2/(1 + 0)).

29.04.2007, 21:32

Leopold

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