Schulmathematik <-> Hochschulmathematik

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mimose Auf diesen Beitrag antworten »
Schulmathematik <-> Hochschulmathematik
Guten Abend,
ich habe dieses Jahr nach dem Abi vor Mathematik zu studieren... Nun habe ich schon des öfteren zu Ohren bekommen, dass sich die Hochschulmathematik wesentlich von der in der Schule "praktizierten" unterscheidet. Und wenn ich hier ins Board schaue, kommt mir auch alles etwas spanisch vor. Also wo liegen die Unterschiede und wie gravierend sind sie?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Such mal nach "Mathematik Uni" oder nach "Studium" im Off Topic-Bereich, da solltest du einiges finden.

Gruß vom Ben
Mimose Auf diesen Beitrag antworten »

So, habe mal die Suche betätigt... Die Frage scheint wirklich schon des öfteren gestellt worden zu sein Big Laugh
Nun bin ich in einem der Beiträge auch auf folgende Aussage gestoßen: "...man fängt praktisch von Null an". Auch als ich eins der verlinkten Skripts(en?) durchgeschaut habe, fiel mir auf, dass am Anfang der (Analysis)-Vorlesung mit Mengen und/oder den reellen Zahlen angefangen wurde. Nur welchen Sinn hat das und in welchem Zusammenhang stehen dazu die sog. "Axiome"?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Die Axiome bilden die Grundlage für das Gedankenkonstrukt.
Diese nimmt man als gegeben hin, wie du gesehn hast sind das ja ned so viele.

Der Sinn warum man das macht wurde bestimmt auch schon in den anderen Threads angesprochen:
Zum einen sollen natürlich Lücken, falls sie denn vorhanden sein sollten, geschlossen werden. Zum anderen übt man sozusagen an einigen einfachen Beispielen und bekanntem Stoff die mathematische Sprache und das Vorgehen bei einem Beweis.
Mimose Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre z.B. ein Axiom "IR ist kommutativ bzg. +"? Soweit ich das jetzt verstanden habe hat man (z.B. Mathematik-Artikel auf wikipedia ), "Axiome eingeführt" damit ein irgendein Fundament hat?!?
Nur bin ich mir nicht im Klaren darüber, was man daraus für einen Vorteil zieht bzw. welchen Nutzen haben sie? Ich würde annehmen, dass Axiome "existieren" damit man reelle Zahlen "beschreiben" kann, aber ohne Axiome hat das z.B. in der Schule bisher auch ganz gut geklappt Big Laugh Das Einführen von Axiomen hat ja nicht nur einen "Übungszweck" sondern anscheinend auch einen historischen...
Und: Wer sagt bzw. wer legt fest, welche Axiome existeren/für was zu gebrauchen sind? Irgendwer muss ja die Axiome sozusagen "standarisiert" haben (wie z.B. bei den ISO-Normen)... Weil ich glaube kaum, dass jeder Professor da seine eigenen Axiome benutzt...
Menelaos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lazarus
Gedankenkonstrukt

Das würde ich so pauschal nicht einfach sagen...

Axiome bilden das Grundfundament jeder mathematischen Theorie. Wenn wir etwas beweisen, dann heißt das lediglich, dass es für die entsprechenden Axiome ein Modell gibt, aus dem sich ein formaler Widerspruch nicht herleiten lässt. Dass es bisher in der Schule "auch ohne" sogut geklappt hat, liegt nur daran, dass wir die Mathematik als das Anwenden von "Rechenregeln" präsentiert bekommen, die sich selbst jedoch über tausende von Jahren Menschheitsgeschichte entwickelt haben und die auf die wenigen mathematischen Grundannahmen, den Axiomen, zurückzuführen sind.
 
 
Mimose Auf diesen Beitrag antworten »

D.h. aus ein paar Axiomen kann ich z.B. die gesamte Integral"rechnung" etc. herleiten? Muss ganz schön aufwendig sein, zumal die Integral"rechnung" in den Skripten(die ich bisher überflogen habe) meistens ganz weit hinten auftauchen Big Laugh

Und nochmal zum praktischen Teil:
Ich hab gelesen, dass bestimmte Mengen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen(z.B. kommutativ sind) definierte Bezeichnungen bekommen z.B. "Gruppe". Nun macht mich aber folgendes stutzig:
Es ist eine bestimmte Menge vorgegeben und es soll gezeigt werden, dass es sich dabei um eine Gruppe handelt. Dann steht da sowas wie:
a o b = .... = b o a
Wie kann man denn für ein beliebiges a und b zeigen, dass die Menge kommutativ sind, ohne zu wissen, welche Eigenschaften die Menge hat(z.b. dass sie kommutativ ist)? Kann man das z.B. nicht auch exemplarisch zeigen, wie : 4-5 != 5-4 ?
Mimose Auf diesen Beitrag antworten »

Noch kurz hierzu eine Frage:
Zitat:
Wenn wir etwas beweisen, dann heißt das lediglich, dass es für die entsprechenden Axiome ein Modell gibt

D.h. aber bestimmt auch, dass einiges vom "mathematischen Handwerk" durch die "Axiomatisierung" verloren gegangen ist, d.h. das man aus den Axiomen nicht herleiten kann? Oder hat man die Axiome so "angelegt", dass man aus ihnen (zu der Zeit der "Axiomatisierung") alles brauchbare herleiten konnte?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Menelaos
Zitat:
Original von Lazarus
Gedankenkonstrukt

Das würde ich so pauschal nicht einfach sagen...

[...]

Was sonst ?
Ich versteh nicht ganz was du meinst verwirrt
Menelaos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Punkt ist doch gerade, dass das, was sich aus den Axiomen nicht herleiten lässt, mathematisch falsch ist bzw. mathematisch keinen Sinn ergibt. Ohne ein Richtig und Falsch kann es keinen Fortschritt geben.
Menelaos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lazarus
Was sonst ?
Ich versteh nicht ganz was du meinst verwirrt

Noch nie etwas vom mathematischen Platonismus und Kreationismus gehört, der nahezu die gesamte Mathematikergemeinde in zwei Lager spaltet? smile

http://de.wikipedia.org/wiki/Philosophie_der_Mathematik
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Achso darauf willst du hinnaus.
Also gut: Aristoteles hat es kein Deut besser gemacht als Platon: er verschiebt den Naturalistischen Fehlschluss nur um eine Stelle. Die Schwachstelle des Logizismus ist vergleichbar und der Formalismus schliesslich verschiebt zwar die ganze Mathematik in die Wahrnehmungswelt allerdings verliert sie dadurch gänzlich ihren Sinn.
Alles in allem kann man trefflich über die philosophischen Aspekte diskutieren, alles hat seine Berechtigung und vorallem die gleiche Schwachstelle : Irgendwo muss man entweder dem Seienden das Wollen unterstellen oder die Wahrnehmung des Seienden als gegeben akzeptieren. Damit schlagen sich Philosophen, Metaphysiker und Ähnliche schon vor Mathematikern rum, überlassen wir denen doch den Spass ?
Menelaos Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, der naturalistische Fehlschluss ist wie alles andere im Bereich der Metaethik sehr umstritten. Aber interessant ist letztlich, dass trotz aller Gegensätzlichkeiten innerhalb der philosophischen Ansichten, diese Diskrepanz von Mathematiker doch leicht überwunden werden kann, man denke z.B. nur an Frege und Russell.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mimose
Ich hab gelesen, dass bestimmte Mengen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen(z.B. kommutativ sind) definierte Bezeichnungen bekommen z.B. "Gruppe". Nun macht mich aber folgendes stutzig:
Es ist eine bestimmte Menge vorgegeben und es soll gezeigt werden, dass es sich dabei um eine Gruppe handelt. Dann steht da sowas wie:
a o b = .... = b o a
Wie kann man denn für ein beliebiges a und b zeigen, dass die Menge kommutativ sind, ohne zu wissen, welche Eigenschaften die Menge hat(z.b. dass sie kommutativ ist)? Kann man das z.B. nicht auch exemplarisch zeigen, wie : 4-5 != 5-4 ?


da musst nochmal genauer lesen, eine menge, versehen mit einer abbildung heisst gruppe, falls sie ebendiese axiome erfüllt.
die eigenschaften der menge, falls sie zusammen mit der definierten verknüpfung (also abbildung) eine gruppe bildet, sagt schon sehr viel über ihre eigenschaften aus

ich würde mal sagen, da die axiome und definitionen recht allgemein sind, lässt sich so viel beschreiben!
Mimose Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
da musst nochmal genauer lesen, eine menge, versehen mit einer abbildung heisst gruppe, falls sie ebendiese axiome erfüllt.

D.h., dass erst eine Menge in Verbindung mit einer definierten Abbildung auf diverse Strukturen "überprüfbar" ist? Kann da jemand mal nen kleines Beispiel geben?
Mimose Auf diesen Beitrag antworten »

Bzw. ich versuch mal selbst ein Beispiel zu geben(nicht schlagen, wenn es mathematisch nicht korrekt ist Big Laugh ):
Also f soll eine Abbildung sein:
f:INxIN -> IN
(aob) -> a^b
Also die Abbildung soll "a hoch b" sein... Wie überprüfe ich nun, ob die Menge versehen mit der Abbildung z.b. kommutativ ist?Aus'm Bauch raus würde ich sagen, sie ist es nicht, aber wie zeige ich das? Kann ich anhand eines Beispiels zeigen, dass Kommutativität nicht gegeben ist z.b. 5^4 != 4^5 ?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist korrekt.
Um zu zeigen das etwas nicht stimmt reicht es immer aus ein Gegenbeispiel zu liefern.
Um zu zeigen das etwas stimmt benötigt man aber einen Beweis.
Mimose Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Um zu zeigen das etwas stimmt benötigt man aber einen Beweis.

Und wie sähe der z.b. für f:INxIN ->IN (aob) -> a+b für die Kommutativität aus? Ich hab schon einige Beispiel gesehen, ber irgendwie blicke ich das nicht:
a+b = .... = b+a ? Was muss ich für den Beweis benutzen?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh das Beispiel ist etwas schwer, da wir nicht viel zur Verfügung haben was wir benutzen können(die natürlichen Zahlen mit der Addition sind natürlich kommutativ), außer vllt. die Peanoaxiome.

Allgemein kannst du nur die Axiome und das was man bereits bewiesen hat benutzen.
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