Linksinverses einer linearen Abbildung

18.12.2004, 18:11

BUW

Linksinverses einer linearen Abbildung

Hallo,

habe folgende Frage:

Ich habe die linerae Abbildung f: IR^{2} -> IR^{3}, f(x,y) = (x,y,x+y) gegeben und soll ein Linksinverses dazu berechnen.

Also das bedeutet ja g ° f = id(IR^{2})

Nun mein Problem:
Ich könnte ja aus der linearen Abbildung die Matrix bestimmten, diese invertieren und aus der invertierten Matrix wieder die lineare Abbildung bestimmen. Nur wie geht der letzte Schritt, also wie bekomme ich aus einer Matrix die dazugehörige lineare Abbildung?

Mein 2. Problem:
Was wäre hier id(IR^{2}) ? Wenn ich das wüsste, könnte ich ja auch ein LGS aufstellen und das Inverse dadurch berechnen oder?

Gruß,
BUW

18.12.2004, 18:33

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Linksinverses einer linearen Abbildung
f ist linear, d.h., es gibt eine Matrix A mit f(x,y) = A * (x,y) .

Du suchst nun eine Matrix B mit der Eigenschaft g(x,y,z) = B * (x,y,z), so dass g(f(x,y))=(x,y).

Somit muss B * A = E gelten, wobei E die Einheitsmatrix im R^2 ist.

Nun ist aber A eine 3x2-Matrix (die müsstest du aus der vorliegenden Darstellung aufstellen können!), also gibt es gar keine Inverse. Trotzdem, wenn der Rang von A gleich 2 ist, so existiert trotzdem eine (nicht eindeutige) 2x3-Matrix B mit einer solchen Eigenschaft!

18.12.2004, 19:03

BUW

Auf diesen Beitrag antworten »

A ist doch eine 2x3 Matrix oder? So wie ich es gelernt habe ist es die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also B * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

18.12.2004, 19:10

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich kenne es so: mxn-Matrix heißt m Zeilen und n Spalten.

Aber du hast insofern recht, dass ich oben schlampig war, weil ich den LaTeX-Mode vermeiden wollte. Genau genommen hätte ich

$\begin{eqnarray*} f\left(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\right) = A \cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

schreiben müssen - also Argument und Funktionswert als Spaltenvektoren, so wie es meist üblich ist. Genau so dann

$\begin{eqnarray*} g\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\right) = B \cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

18.12.2004, 19:35

BUW

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habe es hingekriegt.

Noch ne kleine Frage habe ich:
Wieso ist id(IR^{2}) die Einheitsmatrix und nicht die Nullmatrix? Kann man davon ausgehen, dass es das neutrale Element der Multiplikation ist? Das neutrale Element der Addition wäre ja die Nullmatrix.

Merke gerade, dass wenn die Verknüpfung "+" ist, es gar nicht geht.
Aus einer 2x3 Matrix kann doch durch Addition keine 2x2 Matrix entsehen.

Danke

18.12.2004, 19:39

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von BUW
Wiesi ist id(IR^{2}) die Einheitsmatrix und nicht die Nullmatrix? Kann man davon ausgehen, dass es das neutrale Element der Multiplikation ist?

18.12.2004, 19:44

BUW

Auf diesen Beitrag antworten »

Merke gerade, dass wenn die Verknüpfung "+" ist, es gar nicht geht.
Aus einer 2x3 Matrix kann doch durch Addition keine 2x2 Matrix entsehen.

Wobei nicht ganz. Habe jetzt die inverse Matrix, nur wie komme ich von dieser auf die entsprechende lineare Abbildung?

Neue Frage »

Antworten »

Linksinverses einer linearen Abbildung

Verwandte Themen