Gram-Schmitt-Skalarprodukt (Integral)

29.04.2007, 20:50

oerny

Gram-Schmitt-Skalarprodukt (Integral)

Hallo, ich habe folgende Aufgabe in einem Buch, mit Lösungen, auf die ich aber nicht kommen, hoffe es kann mir jemand helfen
Aufgabe: Man betrachte $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ mit dem Skalarprodukt
$\begin{eqnarray*} <p,q>=\int_{0}^{1}~p(x)q(x)~dx \end{eqnarray*}$
man wende das Gram-Schmidt-Verfahren auf die Standardbasis $\begin{eqnarray*} {1,x,x^2} \end{eqnarray*}$ an,

der erste Vektor $\begin{eqnarray*} v_1 = 1 \end{eqnarray*}$ ist bei mir und in der Lösung gleich
nun sagt die Lösung des Buches für $\begin{eqnarray*} v_2= \sqrt{3} (2x-1) \end{eqnarray*}$
was ich nicht nachvollziehen kann, was ich gemacht habe:

$\begin{eqnarray*} v_2 = \frac{1}{||v_{2}'||}*v_{2}' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_{2}' =t-\frac{<t,1>}{||v_1||^2}*v_1= t-\int_{0}^{1}~t*1~dx '* \frac{v_1}{||v_1||^2} = t-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
und damit wäre $\begin{eqnarray*} v_2 = \frac{2t-1}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

nun meine Frage, wo habe ich einen Fehler gemacht oder passt das so?
$\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ zu berechnen ist da $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ nicht übereinstimmt im moment denke ich sinnlos.

29.04.2007, 21:25

Mazze

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Dein Ansatz passt soweit, es ist aber:

$\begin{eqnarray*} ||v_2'||^2 = <v_2',v_2'> = \int_{0}^{1}x^2 - x + \frac{1}{4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

also ist

$\begin{eqnarray*} ||v_2'|| = \sqrt{\frac{1}{12}} = \frac{1}{\sqrt{4*3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

Und das ergibt dann die Lösung wie im Buch wenn Du durch diesen Betrag teilst.

29.04.2007, 23:04

oerny

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ist die norm dann immer? $\begin{eqnarray*} \sqrt{<x,v>} \end{eqnarray*}$
hab nämlich für das Gram-Schmdt-Verfahren einen Ansatz, bei dem nicht durch das Normquadrat geteilt wird, sondern jeder Vektor "sofort" nomiert wird, wie funktionert dann das?sezt ich dann einfach $\begin{eqnarray*} \sqrt{<x,v>} \end{eqnarray*}$ zur Normierung ein? ja oder?

ach nochwas, hab ich grad gesehen,in der aufgabe ist noch gegeben
$\begin{eqnarray*} LIN(x^2+1) \end{eqnarray*}$ und man soll $\begin{eqnarray*} W^{\perp} \end{eqnarray*}$
was ist damit gemeint?

30.04.2007, 10:29

Mazze

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Zitat:

ist die norm dann immer? $\begin{eqnarray*} \sqrt{<x,v>} \end{eqnarray*}$

Nein, ist <v,w> ein Skalarprodukt so ist $\begin{eqnarray*} N(v) := \sqrt{<v,v>} \end{eqnarray*}$ die vom Skalarprodukt induzierte Norm.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} LIN(x^2+1) \end{eqnarray*}$

LIN bezeichnet Normalerweise die lineare Hülle der Vektoren im Argument, also sämtliche linearkombinationen der Vektoren die angegeben sind.

$\begin{eqnarray*} W^{\perp} \end{eqnarray*}$

Ist das orthogonale Komplement zu einer Menge von Vektoren.

30.04.2007, 12:20

oerny

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also mal langsam ob ich das jetzt richtig verstehe:
falls ein Skalarprodukt gegeben ist, kann ich für die (normale/durch Skalarprodukt induzierte) Norm eines Vektors
$\begin{eqnarray*} \sqrt{<x,x>} \end{eqnarray*}$ einsetzen. Damit würde die Definition $\begin{eqnarray*} ||x|| = \sqrt{<x,x>} \end{eqnarray*}$ immer die Norm definieren.

nochmal zu der linearen Hülle, und dem $\begin{eqnarray*} W^{\perp} \end{eqnarray*}$ :
also angegeben ist keine Vektor in dem Aufgabenteil nur die lineare Hülle $\begin{eqnarray*} LIN(1+t^2) \end{eqnarray*}$ und das Skalarprodukt, aber wie bestimm ich da jetzt eine Basis von $\begin{eqnarray*} W^{\perp} \end{eqnarray*}$

30.04.2007, 13:04

Mazze

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Wie ich schon gesagt habe jedes Skalarprodukt induziert eine Norm. Und wenn Du Gram-Schmidt mit einem bestimmen Skalarprodukt machst, musst Du auch die normierung bezüglich diesem Skalarprodukt machen.

Zitat:

also angegeben ist keine Vektor in dem Aufgabenteil nur die lineare Hülle

Na klar ist ein Vektor angegeben, oder ist 1 + t² kein Vektor in P²? Augenzwinkern

Und zu dem orthognalen Komplement: Schau Dir erstmal an wie $\begin{eqnarray*} W^{\perp} \end{eqnarray*}$ überhaupt aussieht bevor Du dir Gedanken über eine Basis machst.

30.04.2007, 14:52

oerny

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Zitat:

Und zu dem orthognalen Komplement: Schau Dir erstmal an wie $\begin{eqnarray*} W^{\perp} \end{eqnarray*}$ überhaupt aussieht bevor Du dir Gedanken über eine Basis machst.

genau da liegt mein problem, ich weis nicht wo ich da was passendes finde

30.04.2007, 15:53

Mazze

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Ich hab den Link doch oben gepostet.

30.04.2007, 17:48

oerny

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Zitat:

Ich hab den Link doch oben gepostet.

hatte ich übersehen, sorry!

ok es muss also gelten $\begin{eqnarray*} W^{\perp}:=\{v \in \Pi_2 | \forall w \in W :<w,v> =0\} \end{eqnarray*}$
dabei wäre bei mir $\begin{eqnarray*} w=1+t^2 \end{eqnarray*}$
das würde dann in meinem Fall bedeuten das $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~(1+t^2)*v~dt = 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss oder?
dabei käme für v doch nur in frage: $\begin{eqnarray*} \lambda_1*a+\lambda_2*t+\lambda_3*t^2 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \in R \end{eqnarray*}$
damit wäre dann zu lösen
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~(1+t^2)*(\lambda_1*1+\lambda_2*t+\lambda_3*t^2)~dt=0 \end{eqnarray*}$
dann wären alle Lösungen die sich für v ergeben die Basis von $\begin{eqnarray*} W^{\perp} \end{eqnarray*}$
oder nicht?

30.04.2007, 17:53

Mazze

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Zitat:

dann wären alle Lösungen die sich für v ergeben die Basis von $\begin{eqnarray*} W^{\perp} \end{eqnarray*}$

Der Ansatz ist ok, aber dieser Ansatz bestimmt ja ganz $\begin{eqnarray*} W^{\perp} \end{eqnarray*}$ und da sind sicherlich nicht alle Vektoren Basisvektoren. Du kennst das Prozedere, die maximale linear unabhängige Teilmenge von $\begin{eqnarray*} W^{\perp} \end{eqnarray*}$ bestimmen Augenzwinkern

30.04.2007, 18:45

oerny

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ok, ich bekomm bei dem ansatz auf jedenfall mal paar vektoren raus, die ich dann auf lineare unabhänigkeit prüfen müsste..

gibts da nicht ein "schnelleres/geschickteres/einfacheres" verfahren um die basis dirket zu bestimmen? weil das ist ja schon ne üble rechnerrei..... (und gibt weniger punkte wie gram-schmidt ) Augenzwinkern

01.05.2007, 13:26

oerny

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hab das oben jetzt mal integriert und komm dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{80\lambda_1+45\lambda_2+32\lambda_3}{60} = 0 \rightarrow 0 = 80\lambda_1+45\lambda_2+32\lambda_3 \end{eqnarray*}$

gut nun könnte ich lösungen suchen, weil rechnerisch eine gleichung mit 3 variablen lösen wüsste ich jetzt nicht wie ich machen soll...
mit probieren ist ja auch nicht das wahre oder?
die trivialle lösung dürft auch nicht gehen, da diese nicht in $\begin{eqnarray*} \Pi_2 \end{eqnarray*}$ enthalten ist oder?

wie müsst ich da weiter machen oder was ist ein alternativer ansatz?

oder kann ich annehmen da in der linearen Hülle kein vorkommt das auch kein t in der Basis von $\begin{eqnarray*} W^{\perp} \end{eqnarray*}$ vorkommt (wegen dim(U)), dann wäre das ganze
$\begin{eqnarray*} 80\lambda_1=-32\lambda_3 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} LIN(W^{\perp}) = LIN(1-\frac{5}{2}t^2) \end{eqnarray*}$

EDIT: gilt dann aber die bedingung $\begin{eqnarray*} W^{\perp} \cap W = 0 \end{eqnarray*}$ ??

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