Größter Zylinder in Kegel

29.04.2007, 21:05	harhar	Auf diesen Beitrag antworten »
Größter Zylinder in Kegel Hallo wollt mich vergewissern ob ich folgende Aufgabe richtig gelöst habe: Bestimme den radius und die höhe eines zylinders in einem Kegel, wenn dieser das größtmögliche volumen haben soll. Höhe des Kegels: H Radius des Kegels: R Höhe des Zylinders: h Radius des Zylinders: r $\begin{eqnarray} V(r,h)= \pi r^{2}h \end{eqnarray}$ funktion für seitenlänge des zylinders: $\begin{eqnarray} f(x)= -\frac{H}{R}x +H \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(r)=h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h=-\frac{H}{R}r+H \end{eqnarray}$ Eine variable eleminieren: $\begin{eqnarray} V(r)= \pi r^{2}(-\frac{H}{R}r+H) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V(r)= -\frac{H}{R} \pi r^{3} + H\pi r^{2} \end{eqnarray}$ Extremstellen berechnen: $\begin{eqnarray} V'(r)= -\frac{3H}{R} \pi r^{2} + 2H\pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = -\frac{3H}{R} \pi r^{2} + 2H\pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r=\frac{2}{3}R \end{eqnarray}$
29.04.2007, 21:24	harhar	Auf diesen Beitrag antworten »
allerdings kommt wenn mann statt $\begin{eqnarray} V(r,h)= \pi r^{2}h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V(r,h)= rh \end{eqnarray}$ nimmt $\begin{eqnarray} r=2R \end{eqnarray*}$ obwohl das gleiche rauskommen müsste da mit dem steigen der fläche automatisch auch das volumen erhöht wird.
30.04.2007, 08:43	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähh? Wieso willst du $\begin{eqnarray} V(r,h)= rh \end{eqnarray}$ nehmen? Das Volumen eines Zylinders ist und bleibt $\begin{eqnarray} V(r,h)= \pi r^{2}h \end{eqnarray}$ . Der Hintergrund der Aufgabe hat zwar etwas mit Geometrie zu tun, aber im Kern geht es um Analysis. Daher verschoben *

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