Kurvendiskussion usw

18.12.2004, 19:11

Soulmate

Kurvendiskussion usw

f(x) = (x^2 - x - 2) / (e^x)

a) Untersuchen sie K auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, auf Extrem- und Wendepunkte. Zeichnen sie K in ein geeignetes Koordinatensystem.

b) Bestimmen sie die Gleichung der Tangente an die Kurve K im Punkt
A(0/f(0)).

hilfe Hilfe

18.12.2004, 19:14

grybl

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RE: Kurvendiskussion usw
Wo genau liegt das Problem?

Bei den Ableitungen, beim Nullsetzen..?

Hast du schon etwas versucht?

18.12.2004, 19:20

Soulmate

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also kurvendiskussionen bei exponentialfunktionen haben wir schon paar mal gemacht, aber in dieser gegebenen funktion ist ne schwierigkeit drin. muss ich irgendwas besonderes mit x^2 machen?

mit welcher regel kann ich die funktion am besten ableiten?

18.12.2004, 19:24

murray

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RE: Kurvendiskussion usw
Mal zu a)
Du musst 0-Stellen berechnen
=> $\begin{eqnarray*} 0=\frac{x^{2}-x-2}{e^{x}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=x^{2}-x-2 \end{eqnarray*}$

Quadratische gleichung! Kannst die 0-Stellen sogar raten!

Mit wendepunkte und Maxima, musst halt davor entsprechend differenzieren und dann untersuchen:
Extrema/Wendepunkt bei
$\begin{eqnarray*} f'(x_{0})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n,k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Maxima:
$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_{0})<0 \end{eqnarray*}$ & $\begin{eqnarray*} f^{(n-k)}(x_{0})=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall 0<k<n \end{eqnarray*}$ & n gerade

Minima:
$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_{0})>0 \end{eqnarray*}$ & $\begin{eqnarray*} f^{(n-k)}(x_{0})=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall 0<k<n \end{eqnarray*}$ & n gerade

Wendepunkt:
$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_{0})\neq 0 \end{eqnarray*}$ & $\begin{eqnarray*} f^{(n-k)}(x_{0})=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall 0<k<n \end{eqnarray*}$ & n ungerade

Mal zu b)
Form einer Geraden:
$\begin{eqnarray*} g(x)=d+k\cdot x \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} d=g(0) \end{eqnarray*}$

und die Steigung (k) ist bei einer Tangente (g(x)) gleich der 1.Ableitung von der zu tangierenden Funktion (f'(x))

Das schaffst du schon Freude

mfg

18.12.2004, 19:32

grybl

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Hast du die Ableitungen schon gemacht?

wenn ja poste sie mal

wenn nein bitte präzisiere das Problem

18.12.2004, 19:49

Soulmate

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hmmm...ich merk grad, dass ich zu dumm für nullstellen bin...

x^2 - x - 2= 0

x(x - 1 - 2/x) = 0

x=0 oder x - 1 - 2/x ungleich 0

also N (0/0)

aber ob das richtig ist?

18.12.2004, 19:52

JochenX

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Zitat:

x^2 - x - 2= 0

x(x - 1 - 2/x) = 0

dieser schritt bringt dir nix... denn x darf unten nicht 0 sein, weils im nenner steht.
wende zur lösung von x^2 - x - 2= 0 einfach die mitternachtsformel (oder pq-formel) an....

mfg jochen

18.12.2004, 19:54

iammrvip

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Zitat:

Original von Soulmate
x^2 - x - 2= 0

kennst du den satz des Vieta?? geht viel schneller als p-q-formel.

18.12.2004, 19:56

grybl

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Zitat:

kennst du den satz des Vieta?? geht viel schneller als p-q-formel.

das möchte ich sehen! Augenzwinkern

18.12.2004, 19:57

Soulmate

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beides sagt mir nichts.
ich weiß nicht was ich unter dem satz von vieta verstehen soll und was die p-q-formel ist, weiß ich auch nicht.
nicht vergessen, dass ihr es hier mit einem unterkurs-kandidaten zu tun habt.

18.12.2004, 19:57

iammrvip

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@grybl

gerne doch Big Laugh

$\begin{eqnarray*} x^2 - x - 2= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x - 2)(x + 1) = 0 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = -1 \end{eqnarray*}$

@Soulmate

die p-q-formel lautet so:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \end{eqnarray*}$

kennst du die schon?? verwirrt

18.12.2004, 19:59

Soulmate

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achso! nennt man das immer satz von vieta?

f´(x) = 2x - 1 / e^x

18.12.2004, 20:01

grybl

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und was machst du da? Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x^2+4x-6=0 \end{eqnarray*}$

@Soulmate:
du musst die Quotientenregel anwenden!!

18.12.2004, 20:02

iammrvip

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der satz des Vieta sagt, wenn man ein gleichung hat mit

$\begin{eqnarray*} x^2 + px + q = 0 \end{eqnarray*}$

dann sind

$\begin{eqnarray*} p = -(x_1 + x_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q = x_1x_2 \end{eqnarray*}$

so kann man nach Vieta die gleichung in die form

$\begin{eqnarray*} x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2) \end{eqnarray*}$

bringen. das habe ich hier gemacht Augenzwinkern

@grybl
den taschenrechner nehmen, weil wurzel rauskommen Augenzwinkern

18.12.2004, 20:05

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

@iammrvip: bitte bessere das p auf ein q aus beim Produkt der Lösungen.

und glaubst du nicht, dass das Einsetzen in die pq-Formel schneller geht als das Lösen eines Gleichungssystems?

18.12.2004, 20:07

iammrvip

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@grybl
denkst du wirklich ich habe ein glechungssystem gelöst verwirrt

das sieht man doch. man bildet die linearfaktoren und liest die nullstellen ab. formal wäre das Vieta.

18.12.2004, 20:07

Soulmate

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naja, die p-q-formel sagt mir nicht wirklich was, also glaub schon, dass wir mal das an der tafel hatten...aber das was du nach den satz von vieta gemacht hast ist vieeeeeeel einfacher...ich glaub das haben wir schon öfter so gemacht, aber auf sowas muss man ja erstmal kommen!
die pq formal sieht total kompliziert aus...

18.12.2004, 20:12

grybl

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@iammrvip: ich glaube wir tippen aneinander vorbei Augenzwinkern

Kannst du mir bitte, damit ich mich besser in deine Vorgangsweise hineinversetzen kann, schrittweise dein Denken und Rechnen bei der von mir gestellten Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+4x-6=0 \end{eqnarray*}$ hinschreiben?

18.12.2004, 20:18

Soulmate

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okay:

f´(x) = (2x - 1) - (x^2 - x - 2)

18.12.2004, 20:23

grybl

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Quotientenregel: $\begin{eqnarray*} (\frac{u(x)}{v(x)})'=\frac{u(x)'\cdot v(x)-v(x)'\cdot u(x)}{v(x)^2} \end{eqnarray*}$

bei dir ist $\begin{eqnarray*} u(x)=x^2-x-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x)=e^x \end{eqnarray*}$

probiers nocheinmal smile

18.12.2004, 20:30

Soulmate

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ja, die quotientenregel hab ich mir auch rausgesucht gehabt und das auch gerechnet indem ich davon ausgegangen bin, dass u(x) = x^2-x-2 uns v(x) = e^x ist.

dann kam das raus:

((2x - 1) * e^x - (x^2 - x - 2) * e^x) / (e^x)^2

dann hab ich das e^x weggekürzt und dann kam raus:

(2x - 1) - (x^2 - x - 2)

ich hab echt keine ahnung was ich da falsch gemacht habe.

Edit: notwendige Klammer eingefügt. grybl

18.12.2004, 20:32

grybl

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im Nenner bleibt noch $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ über, da $\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{e^{2\cdot x}}=\frac{1}{e^x} \end{eqnarray*}$ ist.

18.12.2004, 20:46

iammrvip

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@grybl
wenn ich deine gleichung bekommen würde mit $\begin{eqnarray*} x^2+4x-6=0 \end{eqnarray*}$ , würde ich jetzt erstmal überlegen, was das seien könnte. es müsste auf alle fälle $\begin{eqnarray*} -... \cdot +... \end{eqnarray*}$ , da das absolutglied negativ ist. jetzt kommen 2 und 3 in frage - da 6 rauskommen muss-, das geht aber nicht, weil das nicht 4 ergeben kann. egal welche "vorzeichen addiert werden" (ich hoffe die verstehst was ich damit meine Augenzwinkern

).

bei der anderen aufgabe geht das einfacher. denn wenn $\begin{eqnarray*} x^2 - x - 2 = 0 \end{eqnarray*}$ vorliegt, muss wieder $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ postiv bzw. negativ sein. da 2 rauskommt, geht nur 2 und eins. und da ein $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ entsteht, kann es bloß -2 und 1 sein. da $\begin{eqnarray*} -2x + x = -x \end{eqnarray*}$ ist. also

$\begin{eqnarray*} x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \end{eqnarray*}$

ich hoffe du verstehst meine gedankengänge jetzt. ich mein, das passiert in ein paar sekunden... es ist mehr ein logisches zusammenbauen der linearfaktoren Big Laugh

18.12.2004, 20:48

Soulmate

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also

f´(x) = (2x - 1) - (x^2 - x - 2) / e^x

???

18.12.2004, 20:54

grybl

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@soulmate: du hast wieder die Klammer vergessen, sonst stimmts

@iammrip: ich verstehe, was du meinst
nur leider endet deine Vorführung bei der Lösung meiner Gleichung bei dem Zeitpunkt, wo du feststellst, dass es keine ganzzahligen Lösungen gibt, der Rest wäre halt interessant!
Der geübte Gleichungslöser (u.a. auch ich) sieht bei Soulmates Gleichung mit freiem Auge, was die Lösung ist, nur ist es für einen weniger geübten mMn nicht so einfach und da geht das Formeleinsetzen doch besser oder.

bei uns lernt man übrigens die pq- und abc-Formel vorm Vieta smile

18.12.2004, 20:56

iammrvip

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ich muss jetzt leider weg. ist ja samstag und schon 21:00uhr Big Laugh

. ich schreib's dann mal, wenn ich weiß, wie ich's erklären soll Big Laugh

. tschö

18.12.2004, 20:58

Soulmate

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also:

f´(x) = ((2x - 1) - (x^2 - x - 2)) / e^x

? aber warum ist denn diese klammer notwendig ?

((2x - 1) - (x^2 - x - 2)) kann man das nicht irgendwie kürzer hinschreiben?

18.12.2004, 21:12

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

die Klammer ist hier für die richtige Interpretation der Schreibweise notwendig, bei deiner Niederschrift brauchst du sie natürlich nicht, denn da hast du ja den Bruchstrich.

Hier könntest du auch den Formeleditor verwenden.

$\begin{eqnarray*} \frac{(2x-1)-(x^2-x-2)}{e^x} \end{eqnarray*}$ kommt ohne Klammer aus.

Natürlich kannst du das auch einfacher hinschreiben, indem du die Klammern auflöst und zusammenfasst. smile

18.12.2004, 21:17

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

zusammengefasst bekomme ich folgendes raus:

f'(x) =(1x - x^2 -3) / (e^x)

ist das richtig?

18.12.2004, 21:19

grybl

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hast du bedacht, dass ein - vor der Klammer, die Vorzeichen in der Klammer bei deren Auflösung ändert?

18.12.2004, 21:26

Soulmate

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nein, da hab ich ja jetzt echt nicht dran gedacht bzw war mir dessen überhaupt nicht bewusst...

2x - 1 + x^2 + x + 2

f'(x) = (2x^2 + 1) / (e^x)

so richtig?

18.12.2004, 21:31

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

vor das x² gehört ein -

$\begin{eqnarray*} 2x-1-x^2+x+2 = ... \end{eqnarray*}$

18.12.2004, 21:38

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

= 2x^2 + 1

???

oder 3x - x^2 + 1

???

19.12.2004, 08:12

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 3x-x^2+1 \end{eqnarray*}$ geordnet dann $\begin{eqnarray*} -x^2+3x+1 \end{eqnarray*}$ smile

19.12.2004, 11:10

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, dann jetzt mal f"(x):

f"(x) = ((-2x+3) * e^x - (-x^2+3x+1) * e^x) / ((e^x)^2)

f"(x) = ((-2x+3) - (-x^2+3x+1)) / (e^x)

f"(x) = (-2x + 3 + x^2 - 3x - 1) / (e^x)

f"(x) = (x^2 - 5x + 2) / (e^x)

ist das soweit richtig? vor allem was die vorzeichen anbelangt?

19.12.2004, 14:29

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

da niemand online ist, der mir die letzte frage beantworten will und es für mich richtig aussieht, mache ich mal f'''(x).
muss nämlich die aufgabe zu morgen fertig haben, da sie eingesammelt wird.

also:

f'''(x) = ((2x - 5) * e^x - ( x^2 - 5x + 2) * e^x) / ((e^x)^2)

f'''(x) = ((2x - 5) - (x^2 - 5x + 2)) / (e^x)

f'''(x) = (2x - 5 - x^2 + 5x - 2) / (e^x)

f'''(x) = -x^2 + 7x - 7

habe ich denn nun f"(x) und f'''(x) richtig gemacht?

19.12.2004, 15:46

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

du hast alles richtig gemacht! Freude

am Schluß hast du "nur" bei f'''(x) den Nenner vergessen

19.12.2004, 16:48

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

kaum zu glauben....du bist dir echt sicher, dass f'''(x) ansonsten richtig ist?

So, dann hab ich jetzt mal den Y-Achsenschnittpunkt ausgerechnet.

Also:

In y=f(x) wird x=0 gesetzt und der entsprechende f(x)-Wert ermittelt.

f(x) = (x^2 - x -2) / (e^x)

f(0) = (0^2 - 0 - 2) / (e^0) = -2 / 1 = -2

Sy= (0/-2)

richtig?

und nun die Extrempunkte:

notw. Bed. f'(x) = 0

f'(x) = (-x^2 + 3x + 1) / (e^x)

(-x^2 + 3x + 1) / (e^x) = 0 /*e^x

-x^2 + 3x + 1 = 0

ich habs jetzt mit der pq-formel probiert:

x^2 + px + q = 0

x1 = -p/2 + wurzel von ((p/2)^2 - q)

x2 = -p/2 - wurzel von ((p/2)^2 - q)

eigentlich müsste die doch so gehen oder nicht?

aber komischerweise krieg ich das richtige ergebnis nur raus, wenn ich +q rechne, aber die pq formal lautet doch: -q

bin voll verwirrt....auf jeden fall kommt mit +q folgendes raus:

x1= 0,30

und

x2 = -3,30

edit: Bin da selbst drauf gekommen!

19.12.2004, 19:20

grybl

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ich kann mir schon denken, wo dein Fehler liegt!

auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} -x^2+3x+1=0 \end{eqnarray*}$ kannst du nicht gleich die pq-Formel anwenden, du musst zuerst noch mit -1 multiplizieren, da die pq-formel nur für $\begin{eqnarray*} x^2+p\cdot x+q=0 \end{eqnarray*}$ geht.
Dann erhältst du auch die richtigen Werte.

und dass dein f'''(x) richtig ist, da bin ich mir zu 99,9999% sicher (TI92 Augenzwinkern

)

19.12.2004, 19:40

Soulmate

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bei der hinr. bed muss ich doch 3,30 und -0,30 in f"(x) einsetzen, oder?

also in:

f"(x) = (x^2 - 5x + 2) / (e^x)

und da kommt bei 3,30 = -1,09 und bei -0,30 = 4,85 raus.

stimmt das?

bei 3,30 handelt es sich also um ein lok. maximum (H), da -1,09 kleiner 0.

und

bei -0,30 handelt es sich um ein lok. minimun (T), da 4,85 größer 0.

richtig?

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