Verteilung

19.12.2004, 09:35

gast

Verteilung

Hi MPler.
Wie kann man folgendes beweisen:
Sei t>0 und s>=0 und es gilt
P(X>s+t|X>s) = P(X>t)
Zeige das es sich hierbei um die Exponentialverteilung handeln muss.

Für die diskrete Verteilung gelingt mir das, aber ich muss das für die stetige Verteilung weiss ich es nicht. Weiss jemand Rat?

19.12.2004, 14:08

Leopold

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Sei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G(x) = 1 - F(x) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} P\left( X > s+t \left| \; X > s \right. \right) = P\left( X > t \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{1 - F(s+t)}{1 - F(s)} = 1 - F(t) \ \ \Leftrightarrow \ \ G(s+t) = G(s) \cdot G(t) \end{eqnarray*}$

Für die Funktion $\begin{eqnarray*} H(x) = \ln{G(x)} \end{eqnarray*}$ gilt daher:

$\begin{eqnarray*} H(s+t) = H(s) + H(t) \end{eqnarray*}$

Die stetigen Lösungen dieser Funktionalgleichung sind aber bekannt (-> Cauchysche Funktionalgleichung).

03.01.2005, 21:07

gast

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Frohes Neues. smile

Danke Leopold.
Gibt es keine einfachere Lösung, die Cauchy Funktionalgleichung haben wir nicht gelernt und ich finde der Beweis davon ist ja auch nicht grade wenig (mehrere Seiten).
Kann man das nicht vom Fall der diskreten Verteilung herbeiführen???
Dort konnte man zeigen das die Verteilung geometrisch sein musste.

03.01.2005, 22:16

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Zitat:

Original von gast
ich finde der Beweis davon ist ja auch nicht grade wenig (mehrere Seiten).

Das liegt nur daran, dass bei dem von Leopold angegebenen Link mehrere Varianten und überdies noch eine andere Funktionalgleichung diskutiert wurde.

Hier können wir zwar direkt keine Stetigkeit, dafür aber die Monotonie von H voraussetzen (die folgt unmittelbar aus der Monotonie der Verteilungsfunktion F) - und das führt ebenso schnell auf die Lösung
$\begin{eqnarray*} H(t)=C\cdot t,\quad t\geq 0 \end{eqnarray*}$
mit einer reellen Konstanten C.

Welche Werte dieser Konstanten überhaupt nur sinnvoll sind, siehst du dann nach der Rücktransformation H --> F :

$\begin{eqnarray*} F(t)=1-e^{C\cdot t},\quad t\geq 0 \end{eqnarray*}$

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