Hiiiiiiillllfffee Stammfunktion mal wieder

19.12.2004, 10:36

Christina V

Hiiiiiiillllfffee Stammfunktion mal wieder

Hallo miteinander,

stehe mal wieder aufm Schlauch beim Integrieren.

Und zwar gesucht ist : $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{1+\frac{1}{4}x^{2}}~dx \end{eqnarray*}$

Bitte zeig mir das mal einer mit Erklärung ich komme da nicht mit den "Aufleitungsgesetzen" klar.... habe es seit ner Std. versucht habe alles probiert, ......

Bitte helft mir,

Danke für event. Bemühungen

19.12.2004, 10:53

etzwane

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ich würde erst einmal versuchen, den Ausdruck unter der Wurzel so einfach wie möglich zu machen, hier z.B. mit der Substitution z = x/2.

Im zweiten Schritt würde ich z durch eine der Hyperbelfunktionen substituieren, also z = sinh(u) oder z=cosh(u), mit einer von beiden kommt man weiter.

Dann Integral ausrechen und die Substitutionen rückgängig machen.

19.12.2004, 14:09

Christina V

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Hallo etzwane

komme leider nicht mehr der Antwort klar...
Mathe ist echt nicht meine Stärke.... bin ein echtes Blondchen...
kann mir bitte jemand mit allen Zwischenschritten erklären wie man auf das Ergebnis F(x)= $\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{(x^2+4)}+x)+\frac{x*\sqrt{x^2+4}}{4} \end{eqnarray*}$
kommt ??

Verstehe das echt nicht. Das Mathe-Programm Derive 6.0 liefert mir innerhalb von 100stel Sek. das Ergebnis,
Mist kann mir das Jemand das Programm in den Kopf pflanzen ?? Augenzwinkern

Würd aber schon helfen wenn mir jemand den Weg zum Ergebnis Schritt für Schritt aufzeigen könnte....

Danke, Leute, Danke

19.12.2004, 14:21

Christina V

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Sorry Doppelpost

19.12.2004, 14:30

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Der Weg, den etzwane aufzeigte, ist vollkommen richtig - wenn man sich etwas Schreibarbeit sparen will, kann man seine zwei Substitutionen zu einer zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} x=2\sinh(u)\quad\Rightarrow\quad dx=2\cosh(u)~du \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in dein unbestimmtes Integral (ich nenne es mal I) ergibt sich

$\begin{eqnarray*} I=\int~\sqrt{1+\sinh^2u}\cdot 2\cosh(u)~du=\int~ 2\cosh^2(u)~du=\int \left(\cosh(2u)+1\right)~du, \end{eqnarray*}$

hierbei kamen die Additionstheoreme $\begin{eqnarray*} \cosh^2(u)-\sinh^2(u)=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \cosh(2u)=2\cosh^2(u)-1 \end{eqnarray*}$ zum Einsatz.

Und jetzt kannst du erst mal weiter machen, ich will ja nicht alles verraten.

19.12.2004, 15:14

Christina V

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Derive liefert mir folgendes

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{1+\frac{1}{4}x^2}~dx \end{eqnarray*}$

mit folgendem Zwischenschritt: (wo ich auch schon nicht mehr hinterkomme !!)
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\int_{}^{}~\sqrt{x^2+4}~dx \end{eqnarray*}$

Dann das fertige Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{x^2+4}+x)+\frac{x*\sqrt{x^2+4}}{4} \end{eqnarray*}$

Hat mir schon das ganze Wochenende versaut die scheiss Integralrechnung....

Bitte helft mir Schritt für Schritt.
Und das wichtigste, wie heissen die "Aufleitungs"-Regeln, die hier zum Einsatz kommen. Muss dass wissen, damit ich das nachschlagen kann !!

Bitte helft mir

19.12.2004, 17:30

Christina V

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Hallo ?????????

19.12.2004, 17:37

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Zitat:

Original von Christina V
die scheiss Integralrechnung....

Ich hab dir oben (14:30) bei der "scheiss Integralrechnung" etwa 90% des Weges abgenommen - ich weiß nicht, was du noch erwartest. böse

19.12.2004, 17:57

Christina V

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in der scheiss lösung kommt kein scheiss cosh und kein scheiss sinh vor also frag ich mich wie du auf den müll kommst........

19.12.2004, 18:09

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Weil ich von dem "Müll" Ahnung habe, und dir eigentlich mit einem Hinweis helfen wollte, der sicher zum Erfolg führt - aber das ist nun vorbei.

Ich empfehle dir dringend die Lektüre der Boardregeln
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=879,
Abschnitt "Umgangston".

19.12.2004, 18:18

Christina V

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Tut mir leid,
ich komme hier einfach nicht weiter und die letzte Hoffnung die ich habe ist dieses Matheboard.... aber hier bekomme ich auch nur antworten, mit denen ich nichts anfangen kann....

wie kommst du auf z=x/2 und wie dann auf x=2sinh(u) ????

Wie heisst denn die regel die hier zum Einsatz kommt ?? Was substituieren ist weiss ich.....und wieso liefert mir mein matheprog. eine Lösung mit ln() und nichts mit sinh oder cosh ?? traurig

19.12.2004, 18:27

JochenX

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bin zwar ne analysisniete aber bissel kann ich dir doch helfen (die leute, die dir sicher helfen könnten, hast ja verjagd unglücklich

...):

sinh oder cosh kommen nicht mehr vor, da du ja später noch rücksubstituieren musst.

die idee von einer substiution der art x=sinh(z) ist dann sinnvoll, wenn du unter einer wurzel etwas der art x²+1 hast.... denn es gilt das gesetz: cosh²-sinh²=1 (keine garantie auf die vorzeichen, bitte korrigieren)...... damit kannst dann später deine wurzel stark vereinfachen...
denn dann wird WURZEL(sinh(z)²+1)=WURZEL(cosh(z)²)=cosh²...

hoffe, ich konnte dir etwas helfen...

mfg jochen

19.12.2004, 18:35

Christina V

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Ich glaube ich bin immer noch die größte Analysisniete Hilfe

Gut nu weiss ich schonmal wie das mit dem sinh und cosh kommt...
aber wieso ist die substitution von etzwane z=x/2 ??

was müsste denn mit dieser substitutuion unter der wurzel stehen ??

Danke @Jochen Wink

19.12.2004, 19:52

etzwane

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Substitution z=x/2 mit dz=dx/2 oder dx=2dz führt zu

$\begin{eqnarray*} J = \int~\sqrt{1+z^2}~dx = 2\int~\sqrt{1+z^2}~dz \end{eqnarray*}$
und das ist ein Integral, das gerade nach Substitution mit sinh schreit.
Sagen wir mal so, jeder mit etwas mehr Übung bzw. Erfahrung sieht das auf den ersten Blick.

So, und nun wollen wir versuchen, das Integral auf einem anderen Weg lösen.

Es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\frac{x^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{4+x^2} \end{eqnarray*}$ , indem einfach das 1/4 vor die Wurzel gezogen wird (ausklammern), damit also
$\begin{eqnarray*} J = \int~\sqrt{1+\frac{x^2}{4}}~dx = \frac{1}{2}\int~\sqrt{4+x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt werde mal substituiert $\begin{eqnarray*} \sqrt{4+x^2} = t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} dx = \frac{t\cdot dt}{\sqrt{t^2-4}} \end{eqnarray*}$
Das ergibt $\begin{eqnarray*} J = \frac{1}{2}\int~\frac{t^2}{\sqrt{t^2-4}}~dt \end{eqnarray*}$
und dieses Integral sollte mittels partieller Integration gelöst werden können, wobei einer der Summanden den Term arsinh(x...) enthalten wird, das wegen arsinh(x) = ln{x+sqrt{x^2+1}} auf die von Derive gegebene Darstellung mit der Logarithmusfunktion führt.

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