Probleme beim Ableiten

19.12.2004, 14:13

wurzelknirps

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Probleme beim Ableiten

ich erarbeite mir das Thema Differentialrechnung selbständig und habe grosse Verständnisprobleme beim Ableiten, meist finde ich einfach den richtigen Weg nicht. Z.B. sei gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{n} *ln(x) \end{eqnarray*}$

Auf den ersten Blick würde ich sagen, das ist einfach mit der Produktregel zu lösen, also sei

$\begin{eqnarray*} g(x)=x^{n} \Rightarrow g'(x)=n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} h(x)=ln(x)\Rightarrow h'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Mit der Produktregel würde ich nun:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=n*x^{n-1}*ln(x)+x^{n}*\frac{1}{ x} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig .. kann man da noch was vereinfachen?

Die Lösung im Buch meint:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^{n-1}*(n*ln(x)+1) \end{eqnarray*}$

ich habe keine Ahnung, wie man auf diese Lösung kommt .. unglücklich

unglücklich

Und: hätte ich einen Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{\sqrt[3]{x^2+3}}{3-4x^2} \end{eqnarray*}$

wie sähe der Lösungsansatz aus .. Hilfe

Hilfe

scheint alles schrecklich kompliziert ..

ein grübelnder
knirps

19.12.2004, 14:18

Leopold

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Es erstaunt mich, wie du den komplexen Differentiationskalkül beherrschst, aber an der Bruchrechnung dann scheiterst:

$\begin{eqnarray*} x^n \cdot \frac{1}{x} = \frac{x^n}{x} = \frac{x \cdot x \cdot x \cdots x}{x} = \text{???} \end{eqnarray*}$

19.12.2004, 14:19

klarsoweit

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RE: Probleme beim Ableiten

Zitat:

Original von wurzelknirps
$\begin{eqnarray*} f'(x)=n*x^{n-1}*ln(x)+x^{n}*\frac{1}{ x} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig .. kann man da noch was vereinfachen?

Ist richtig, und x^n / x kann man noch vereinfachen, das überlasse ich dir.
Dann kommt auch die Lösung aus dem Buch raus.
Und das andere: differenziere mit der Quotientenregel.

19.12.2004, 14:21

kikira

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RE: Probleme beim Ableiten
x^n * 1/x kann man kürzen....weil da die gleiche Basis ist. Dann werden die Hochzahlen subtrahiert:

= x^(n - 1)

somit kannst du dann x^(n - 1) herausheben.

Differenzieren:

x in einer Klammer und die Klammer hat eine Hochzahl >> Kettenregel

x * x >> Produktregel

x/x >> Quotientenregel:

Zähler = u
Nenner = v

Quotientenregel: (vu' - uv')/ v²

lg kiki

19.12.2004, 16:17

wurzelknirps

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Hallo alle zusammen,

achje .. ich schäme mich ja fast, natürlich ist es so einfach: Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} x^{n} * \frac{1}{x}= x^{n} * x^{-1}= x^{n-1} \end{eqnarray*}$

Ich danke Euch sehr .. es hilft mir enorm.

Wenn ich die zweite Aufgabe mit der Quotientenregel angehe, soll ich da erst die Terme

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x^2+3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {3-4x^2} \end{eqnarray*}$ ableiten und dann mit der Quotientenregel differenzieren?

Wie geht man an so ein komplexeren Term denn am besten heran?

ein irritierter
knirps

19.12.2004, 17:25

kikira

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Ja...am gescheitesten ist es, wenn du zuerst u' und v' bildest, das so weit wie möglich vereinfachst und wieder umformst und dann erst in die Quotientenregel einsetzen, denn dann hast du einen besseren Überblick.
Ich machs immer so.

z.b.
u = 3.sqrt(4x - x²)
u = (4x - x²)^(1/3)

u' = 1/3 * (4x - x²)^(-2/3) * (4 - 2x)
$\begin{eqnarray*} u' = \frac {4 - 2x} { 3 * \sqrt [3] {(4x - x^2)^2 }} \end{eqnarray*}$

Und dann mach ich v', vereinfach das auch so und dann setz ich erst ein.

lg kiki

\\EDIT by sommer87: Latex verbessert: im latex bitte ^2 statt ² schreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

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20.12.2004, 21:42

wurzelknirps

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hoppla, kiki, ich komm schon wieder nicht ganz mit ..

sei gegeben meine Besipielfunktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\sqrt[3]{x^2+3}}{3-4x^2} \end{eqnarray*}$

dann setze ich $\begin{eqnarray*} u=\sqrt[3]{x^2+3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=3-4x^2 \end{eqnarray*}$

Meine Ableitung von u sähe so aus (Kettenregel)

$\begin{eqnarray*} u'=\frac{2x}{3* \sqrt[3]{(x^2+3)^2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'=-8x \end{eqnarray*}$

Jetzt die Quotientenregel: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{u*v'-u'*v}{v^2} \end{eqnarray*}$

also für den Zähler: $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x^2+3}*(-8x)-\frac{2x}{3* \sqrt[3]{(x^2+3)^2}}*3-4x^2 \end{eqnarray*}$ und dann:

$\begin{eqnarray*} -8x*\sqrt[3]{x^2+3}-(\frac{6x}{3* \sqrt[3]{(x^2+3)^2}}-\frac{8x^3}{3* \sqrt[3]{(x^2+3)^2}}) \end{eqnarray*}$

hoffentlich richtig zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} -8x\sqrt[3]{x^2+3}-\frac{8x^3+6x}{3* \sqrt[3]{(x^2+3)^2}} \end{eqnarray*}$

ich könnte erweitern ..

$\begin{eqnarray*} \frac{-8x\sqrt[3]{x^2+3}*3\sqrt[3]{(x^2+3)^2} }{{3 \sqrt[3]{(x^2+3)^2}}} -\frac{8x^3+6x}{3\sqrt[3]{(x^2+3)^2}} \end{eqnarray*}$

und dann:
$\begin{eqnarray*} =\frac{-8x\sqrt[3]{x^2+3}*3\sqrt[3]{(x^2+3)^2}-8x^3+6x}{3\sqrt[3]{(x^2+3)^2}} \end{eqnarray*}$

dann aber weiss ich gar nicht weiter .. das wäre ja erst der Zähler traurig

traurig

ein hilfebedürftiger
knirps

20.12.2004, 21:55

etzwane

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Zitat:

Original von wurzelknirps
Jetzt die Quotientenregel: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{u*v'-u'*v}{v^2} \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass du dir die Formel nicht richtig gemerkt hast?

Nach meiner Meinung ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{u'*v-u*v'}{v^2} \end{eqnarray*}$ die Ableitung von f(x) = u/v

20.12.2004, 22:20

etzwane

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Zitat:

Original von wurzelknirps
sei gegeben meine Besipielfunktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\sqrt[3]{x^2+3}}{3-4x^2} \end{eqnarray*}$

Und kannst du nicht ein einfacheres Beispiel nehmen, dies mag doch wirklich keiner nachrechen.

Und ich schon lange nicht mit meinen Noch-Problemen mit Latex ...

20.12.2004, 22:56

wurzelknirps

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Zitat:

Original von etzwane

Kann es sein, dass du dir die Formel nicht richtig gemerkt hast?

Nach meiner Meinung ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{u'*v-u*v'}{v^2} \end{eqnarray*}$ die Ableitung von f(x) = u/v

oops .. ja, habe ich mir falsch eingeprägt und aufgeschrieben, werde es noch mal mit einfacheren Beispielen versuchen.

vielen Dank

ein mathemüder
knirps

21.12.2004, 18:32

HyperSonic

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Ohne dich jetzt verwirren zu wollen, aber die Quotientenregel hat ein paar Nachteile! Zum einen muss man sie lernen (oder ständig nachschauen), zum anderen passiert es sehr schnell das man mal u und v (Zähler und Nenner) vertauscht, was zu einem falschen Ergebnis führt.
Besser finde ich es wenn man einfach auch die Produktregel nutzt, denn z.B.:

$\begin{eqnarray*} \frac{5x^3}{x-2} = 5x^{3} * (x-2)^{-1} \end{eqnarray*}$

ewentuell muss man dann vielleicht auch ein paar Regeln kombinieren, aber das ist ja dann auch gleich eine gute Übung!

21.12.2004, 20:49

etzwane

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Nachdem mir dieser Fehler früher auch passiert ist, habe ich mir mit Erfolg gemerkt:

(uv)' = u'v+uv' und (u/v)' = (u'v-uv')/v²

also zuerst immer u'v.

Die Methode mit v^(-1) ist auch nicht schlecht, es hängt viel von der Funktion ab, welche Methode besser ist, das Ergebnis ist dann eben (u/v)' = u'/v-uv'/v²

21.12.2004, 21:32

Thomas

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Hi,

bei uns im Buch gibt es eine Merkregel zur Quotientenregel.

NAZ - ZAN (für oben, unten weiß man ja immer). NennerAbleitungZählen - ZählerAbleitungNenner

Vielleicht hilft dir das beim Einprägen.

Gruß,
Thomas

21.12.2004, 23:45

HyperSonic

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Zitat:

Original von Thomas
NennerAbleitungZählen - ZählerAbleitungNenner

meinst du NennerAbleitungZähler - ZählerAbleitungNenner oder steig ich nur grade nicht dahinter (naja um 12 Uhr Nachts...)?

Ist doch aber irgendwie Interpretationssache oder?

NennerAbleitung Zähler - ZählerAbleitung Nenner
oder
Nenner AbleitungZähler - Zähler AbleitungNenner

22.12.2004, 00:30

kikira

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Ich merks mir immer so:

Zum Schluß steht das UV-Licht (UV') und davor das Gegenteil..also U'V.

lg kiki

22.12.2004, 17:39

wurzelknirps

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vielen Dank Euch allen für die Tipps, ich werde das mal vertiefen und ein wenig im Hirn durchkneten, irgendeine brauchbare Assoziation werde ich schon finden. Wink

Wink

ein grüssender
knirps

22.12.2004, 21:52

wurzelknirps

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ich muss nochmal um Hilfe auf dem Weg der Erkenntnis flehen .. Gott

Gott

es sei gegeben eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Gesucht sind die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.

Nullstelle scheint einfach bei x=0 zu finden, meine erste Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ zu 0 gesetzt und den Wert für x dann in die Ursprungsgleichung eingesetzt, ergibt die Extrema bei (-1,-1/2) und (1,1/2)

Nun leite ich weiter ab und bekomme

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{2x^5-4x^3-6x}{(x^2+1)^4} \end{eqnarray*}$ ist das richtig?

Da ich wieder den Nenner zu Null setze, erhalte ich eine Nullstelle=Wendepunkt bei x=0 und Wendepunkte bei $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , diese setze ich in meine 1.Ableitung ein und erhalte da für die y-Koordinaten der Wendepunkte:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-\sqrt{3}^2}{(\sqrt{3}^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{1-(-\sqrt{3})^2}{((-\sqrt{3})^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ da bin ich aber auch schon nicht mehr sicher .. verwirrt

verwirrt

, denn ich würde ja für die Koordinaten der Wendepunkte $\begin{eqnarray*} (\sqrt{3},- \frac{1}{4}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-\sqrt{3},\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ heraus bekommen.. das ist aber Quark.

Kann mir jemand einen Weg aus dem Dilemma zeigen?

in freudiger Erwartung
knirps

23.12.2004, 00:07

kikira

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Hää?

f(x) = x/(x²+ 1)

f(sqrt(3)) = sqrt(3) / 4

Wie kommst du da für y auf 1/4?

lg kiki

23.12.2004, 08:47

wurzelknirps

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Hallo kiki,

achso .. dann muss ich also, um die Koordinaten der Wendepunkte zu bestimmen, die Werte für x bei Nullstellen der 2. Ableitung in die Ursprungsfunktion einsetzen. Dann wird mir einiges klarer, das hatte ich dann falsch gelesen und verstanden.

vielen Dank.

knirps
smile

smile

23.12.2004, 08:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von wurzelknirps
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{2x^5-4x^3-6x}{(x^2+1)^4} \end{eqnarray*}$ ist das richtig?

scheint richtig zu sein, aber etwas zu kompliziert.
beim Ableiten mit der Quotientenregel erhält man zunächst:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-2x \cdot(x^2 + 1)^2 - (1 - x^2) \cdot 2(x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2+1)^4} \end{eqnarray*}$
Aus diesem Ausdruck kann man zunächst ein (x² + 1) rauskürzen, dann sieht das ganze schon viel besser aus:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-2x \cdot(x^2 + 1) - (1 - x^2) \cdot 2 \cdot 2x}{(x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

23.12.2004, 11:53

kikira

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Ja...denn:

f(x) heißt y

f'(x) heißt Steigung der Tangente in jedem beliebigen Punkt (x / f(x)) der Kurve.

f''(x) heißt Krümmung der Kurve in jedem beliebigen Punkt (x / f(x)).

Du setzt ja in die 1. und 2. Ableitung immer nur die x-Koordinate eines Punktes ein, denn die dazugehörige y-Koordinate kann man sich ja jederzeit aus der ursprünglichen Funktion berechnen.

lg kiki

23.12.2004, 12:03

iammrvip

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Zitat:

Original von kikira
f(x) heißt y

f'(x) heißt Steigung der Tangente in jedem beliebigen Punkt (x / f(x)) der Kurve.

f''(x) heißt Krümmung der Kurve in jedem beliebigen Punkt (x / f(x)).

$\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$

jedem x wird ein y zugewiesen.

$\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ gibt die Steigung der Tangente in einem beliebigen Punkt $\begin{eqnarray*} (x | f(x)) \end{eqnarray*}$ der Kurve an

$\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ gibt das Krümmungsverhalten der Kurve in einem beliebigen Punkt $\begin{eqnarray*} (x | f(x)) \end{eqnarray*}$ an

ps: Kurve könnte man auch durch Graphen ersetzen.

23.12.2004, 12:12

kikira

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Zitat:

Original von iammrvip
$\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$

jedem y wird ein x zugewiesen.

Es ist umgekehrt der Fall. Jedem x wird nur EIN y zugewiesen.

Einem y kann man beliebig viele x-Werte zuweisen.

lg kiki

23.12.2004, 12:15

iammrvip

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Hammer

Hammer

sorry. schreibfehler...

23.12.2004, 21:55

wurzelknirps

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vielen lieben Dank Euch allen, jetzt habe ich schon eine Menge gelernt, ein paar andere Aufgaben konnte ich prima lösen ..

schöne Feiertage und einen guten Start ins Neue Jahr
smile

smile

knirps

23.12.2004, 22:48

iammrvip

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danke. dir auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.12.2004, 00:48

HyperSonic

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von wurzelknirps
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{2x^5-4x^3-6x}{(x^2+1)^4} \end{eqnarray*}$ ist das richtig?

scheint richtig zu sein, aber etwas zu kompliziert.
beim Ableiten mit der Quotientenregel erhält man zunächst:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-2x \cdot(x^2 + 1)^2 - (1 - x^2) \cdot 2(x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2+1)^4} \end{eqnarray*}$
Aus diesem Ausdruck kann man zunächst ein (x² + 1) rauskürzen, dann sieht das ganze schon viel besser aus:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-2x \cdot(x^2 + 1) - (1 - x^2) \cdot 2 \cdot 2x}{(x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

Noch ein Grund die Quotientenregel zu umgehen wenn möglich, denn mit der Produktregel kannst du dir diesen Schrit sparen (dafür ist es vielleicht aber etwas schwieriger)....

25.12.2004, 01:23

iammrvip

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endlich mal jemand der mich versteht Gott

Gott

ich nehme nie die quotientenregel (wenn es nich nach aufgabestellung gefortdert ist). einfach in gedanken in ein produkt umformen und dann nach produktregel ableiten. muss man nicht mehr kürzen, etc. geht einfach schneller und ich persönlich find's auch einfacher.

25.12.2004, 11:06

etzwane

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Man rechnet mit der Quotientenregel (u/v)' = (u'v - uv')/v^2

und mit der Produktregel (u/v)' = (u*1/v)' = u'/v - uv'/v^2

25.12.2004, 12:00

iammrvip

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quotientenregel:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \end{eqnarray*}$

über die produktregel:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{u}{v}\right)' = \left(uv^{-1}\right)' = u'v^{-1} + uv'v^{-2} = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^2} \end{eqnarray*}$

hier muss man aber dann v nach kettenregel ableiten.

25.12.2004, 12:56

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von iammrvip
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{u}{v}\right)' = \left(uv^{-1}\right)' = u'v^{-1} + uv'v^{-2} = \frac{u'}{v} + \frac{uv'}{v^2} \end{eqnarray*}$

Nana, wir wollen doch nich das Vorzeichen vergessen.

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{u}{v}\right)' = \left(uv^{-1}\right)' = u'v^{-1} + u\cdot (-1)v^{-2}v' = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^2} \end{eqnarray*}$

smile

smile

25.12.2004, 13:06

iammrvip

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natürlich nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

hab's nicht noch mal richtig gelesen unglücklich

unglücklich

.

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