Konvergenz einer Reihe

30.04.2007, 14:49

vektorraum

Konvergenz einer Reihe

Hi!

Es ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\cfrac{1}{n^{1+ia}} \end{eqnarray*}$

gegeben, und es soll bestimmt werden, für welche $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Reihe konvergiert.

Hab jetzt schon probiert, ob es irgendwie mit Konvergenzkriterien funktioniert, aber mir ist noch nichts richtiges eingefallen.

Vielleicht meine Lösungsidee: Ich kann doch schreiben: $\begin{eqnarray*} z=1+ia,~a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Dann ist doch

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\cfrac{1}{n^{1+ia}}=\sum_{n=0}^{\infty}~\cfrac{1}{n^{z}} \end{eqnarray*}$

Das ist doch aber widerrum die harmonische Reihe, so dass meine Reihe doch für $\begin{eqnarray*} z>1 \end{eqnarray*}$ konvergiert und für $\begin{eqnarray*} z\leq 1 \end{eqnarray*}$ divergiert. Also z.B.

$\begin{eqnarray*} 1+ia>1~\Leftrightarrow~ia>0~\Leftrightarrow~a>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+ia\leq 1~\Leftrightarrow~ia\leq 0~\Leftrightarrow~a\leq 0 \end{eqnarray*}$

Ist das bereits die richtige Lösung???

Weil es ist der Hinweis gegeben, dass für reelle $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ und komplexe $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ geschrieben werden kann $\begin{eqnarray*} c^z \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} e^{z\ln c} \end{eqnarray*}$

Und wir sollen die Beschränktheit und die Existenz einer beschränkten Folge mit

$\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{n^{ia}}-\cfrac{1}{(n-1)^{ia}}=-ia\cfrac{1}{n^{1+ia}}+\cfrac{a_n}{n^{2+ia}} \end{eqnarray*}$

zeigen. Mit diesem Hinweis kann ich erst recht nichts anfangen.

Was meint ihr???
Wäre sehr lieb, wenn mir jemand mal einen Anstoß gibt Gott

30.04.2007, 15:39

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von vektorraum

$\begin{eqnarray*} 1+ia>1~\Leftrightarrow~ia>0~\Leftrightarrow~a>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+ia\leq 1~\Leftrightarrow~ia\leq 0~\Leftrightarrow~a\leq 0 \end{eqnarray*}$

Auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ist keine Ordung definiert!!!!!

Hast du schon versucht die Reihe in Imaginär- und Realteil zu zerlegen?

02.05.2007, 18:36

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe
@Dual Space:

Oh je, Anfängerfehler LOL Hammer

Nein, das darf nicht passieren. Sorry.

Zur Lösung des Problems: Könnte man über die Beträge von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ rangehen???

Ansonsten dein Vorschlag. Dann müsste ich doch das "umgekehrte Cauchyprodukt" ausrechnen, oder? Was sind also meine beiden Ausgangsreihen.

Also es gilt doch allgemein

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_n~\cdot~\sum_{n=0}^{\infty}b_n=\sum_{n=0}^{\infty}~\sum_{k=0}^{n}~a_k b_{n-k} \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt meine rechte Seite kennen, und muss links die Ausgangsreihen suchen. also

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_n~\cdot~\sum_{n=0}^{\infty}b_n=\sum_{n=0}^{\infty}~\cfrac{1}{n}\cdot\cfrac{1}{n^{ia}} \end{eqnarray*}$

Wie rechne ich das aus? unglücklich

03.05.2007, 10:30

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von vektorraum
Zur Lösung des Problems: Könnte man über die Beträge von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ rangehen???

Ja ... ich denke das ist eine gute Idee.

03.05.2007, 17:44

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe
Kann man denn etwa sagen, dass die harmonische Reihe für $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ konvergiert???

Analog andersherum. Dann wäre das Problem ja schnell gelöst verwirrt

03.05.2007, 23:05

brain man

Auf diesen Beitrag antworten »

Da $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~ \frac{1}{k^z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ gegeben ist, handelt es sich um die Riemannsche Zeta-Funktion

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz einer Reihe

Verwandte Themen