Beweis Hilbert-Matrix positiv definit

30.04.2007, 15:56	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Hilbert-Matrix positiv definit Guten Tag, es geht darum zu zeigen, dass die allgemein bekannte Hilbertmatrix $\begin{eqnarray} H:=(\frac{1}{i+j-1})_{i,j=1,...,n+1} \end{eqnarray}$ positiv definit ist. Einen Beweis dazu habe ich bereits im Netz gefunden, den kann ich auch nachvollziehen. Derjenige geht von dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}~\\|p(t)\\|^2~dt \end{eqnarray}$ und dem Unterraum der von den Funktionen $\begin{eqnarray} x_1(t)=1 \\ x_2(t)=t \\ ... \\ ... \\ x_{n+1}=t^n \end{eqnarray}$ aufgespannt wird aus. Nun wird die Definitheit des Skalarprodukts gezeigt, also so: $\begin{eqnarray} H_{ij}=<x_j(t),x_i(t)>= \int_{0}^{1}~t^{j-1}t^{i-1}~dt = \int_{0}^{1}~t^{j+i-2}~dt = \frac{1}{i+j-1} \end{eqnarray}$ Fertig ist der Beweis! Alles klar und verständlich. Ich möchte jedoch von den Eigenschaften positiv definiter Matrizen ausgehen und eine nachweisen, wie bspw. EW sind >0 oder Pivotelemente sind >0 oder auch alle Hauptminoren sind >0. Habe auch schon ein paar Ansätze, bei den EW ist das char. Polynom schon kompliziert genug aufzustellen und dauert zu lange, scheidet also aus. Die Hauptminoren werden ziemlich kompliziert zu berechnen für n>3 scheidet also auch aus. Bleiben noch die Pivotelemente, auch hier ist es offentsichtlich dass alle >0 sind aber wirklich beweisen für alle n kann ich es nicht. Jetzt ist einfach mal meine Frage, ob ihr da noch Mittel und Wege kennt vielleicht doch eines der besagten Kriterien nachzuweisen, denn wenn eines gilt gelten ja die anderen auch und somit wäre die Matrix positiv definit. Die Sache mit dem SKP hätte ich nämlich nicht von alleine gewusst, ist jedoch am elegantesten so wie es derzeit aussieht, oder?

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