Dividieren bei Kongruenzen

20.12.2004, 01:33

Y-G

Dividieren bei Kongruenzen

Hallo!
Ich habe einige Kopien zum "Kleinen Satz von Fermat" bekommen und habe diese gerade durchgearbeitet.
Als ich dann beim Beweis auf $\begin{eqnarray*} (p-1)! * n^{p-1} \equiv (p-1)! \end{eqnarray*}$ gekommen bin, ist auf dem Zettel gestanden, dass man nicht einfach durchdividieren dürfe (womit ja sonst der Satz schon bewiesen wäre), sondern diese kleine Hürde wurde dann doch recht umständlich umgangen. Als Begründung war dann dort ein Gegenbeispiel:
$\begin{eqnarray*} 6\equiv 4 (2) \end{eqnarray*}$
Dividiert man jetzt diese Kongruenzgleichung (oder wie man das auch immer nennt) durch 2, so erhält man
$\begin{eqnarray*} 3\equiv 2 (2) \end{eqnarray*}$ und damit eine falsche Aussage.

Frage: ist aber $\begin{eqnarray*} a*x \equiv a*y (m) \end{eqnarray*}$ nicht gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} x \equiv y (m) \end{eqnarray*}$ , wenn a und m teilerfremd sind?
Weil dann könnte man sehrwohl durchdividieren.

Danke!

20.12.2004, 05:22

Poff

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RE: Dividieren bei Kongruenzen
das bleibt für Leopold

Augenzwinkern

20.12.2004, 08:23

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RE: Dividieren bei Kongruenzen
Ich "vertrete" mal Leopold. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Y-G
Frage: ist aber $\begin{eqnarray*} a*x \equiv a*y (m) \end{eqnarray*}$ nicht gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} x \equiv y (m) \end{eqnarray*}$ , wenn a und m teilerfremd sind?

Vollkommen richtig! Rock

20.12.2004, 20:29

Y-G

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Danke, also lag ich doch richtig!

Frage: Selbst wenn es noch so logisch erscheint, wie begründet man das?

21.12.2004, 08:54

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Ist eigentlich eine ziemlich elementare Eigenschaft, aber was soll's - unter "Vermeidung" der Modulrechnung zeigt man das so:

$\begin{eqnarray*} a*x \equiv a*y (m) \end{eqnarray*}$ ist äquivalent dazu, dass m ein Teiler von a*x-a*y=a*(x-y) ist. Aufgrund der Teilerfremdheit von a und m muss somit m ein Teiler von (x-y) sein. (Wenn einem das immer noch nicht genügt, kann man letzteres auch noch über die einzelnen Primteiler vom m begründen, usw. Augenzwinkern

)

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