Ungleichung/Wurzel 3

30.04.2007, 20:37	Megagast	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung/Wurzel 3 Hallo, ich soll bei der Ungleichung: $\begin{eqnarray} \left\|\sqrt{3}-\frac{p}{q}\right\|\geq\frac{1}{(2+\sqrt{3})q^2} \end{eqnarray}$ für bel. $\begin{eqnarray} p\in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q \in \mathbb{Z}\setminus{0} \end{eqnarray}$ herausfinden ob sie gilt. Nachdem ich die betragssriche(mit Fallunterscheidung) entfernt und auf p umgeformt habe , komme ich nun leider nicht recht weiter. ein tip wäre nett
30.04.2007, 22:51	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heisst "auf p umgeformt" ?
30.04.2007, 22:57	Megagast	Auf diesen Beitrag antworten »
So, daß p allein auf der linken seite steht(in den 2 versch. Fällen).
01.05.2007, 10:48	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich betrachte mal nur den Fall $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ positiv, alle anderen Fälle kann man darauf zurückführen bzw. sind trivial. Die Gleichung $\begin{eqnarray} 3q^2=p^2 \end{eqnarray}$ besitzt außer $\begin{eqnarray} p=q=0 \end{eqnarray}$ keine ganzzahligen Lösungen, also ist $\begin{eqnarray} \|3q^2-p^2\| \geq 1 \end{eqnarray}$ und demnach $\begin{eqnarray} \|\sqrt{3}q-p\| = \frac{\|3q^2-p^2\|}{\|\sqrt{3}q+p\|} \geq \frac{1}{\sqrt{3}q+p} \end{eqnarray}$ . Die Behauptung wäre nun im Fall $\begin{eqnarray} \sqrt{3}q+p \leq (2+\sqrt{3})q \end{eqnarray}$ , d.h. umgeformt $\begin{eqnarray} p \leq 2q \end{eqnarray}$ , bewiesen. Der übrig bleibende Fall $\begin{eqnarray} p>2q \end{eqnarray}$ ist noch einfacher.
01.05.2007, 14:04	Megagast	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal, ein detail verstehe ich leider immer noch nicht ganz: wie kommt man zur Gleichung $\begin{eqnarray} 3x^2 = p^2 \end{eqnarray}$ ?
01.05.2007, 14:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nochmal ausführlichst: Der Term $\begin{eqnarray} 3q^2-p^2 \end{eqnarray}$ liefert ganzzahlige Werte, sofern $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ ganze Zahlen sind. Der Wert Null tritt dabei nur für $\begin{eqnarray} p=q=0 \end{eqnarray}$ auf, ansonsten nicht. Und $\begin{eqnarray} 3q^2-p^2\neq 0 \end{eqnarray}$ ist im Bereich der ganzen Zahlen nun mal gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} \|3q^2-p^2\|\geq 1 \end{eqnarray}$ .
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