rekursive Funktionenfolge

20.12.2004, 21:53	Manni Feinbein	Auf diesen Beitrag antworten »
rekursive Funktionenfolge Wer weiß wie man folgende Aufgabe (insbes. Teil b.)) löst und kann mir mit nem Ansatz weiterhelfen??? $\begin{eqnarray} \end{eqnarray} Definiere $f_n:[0,\infty[\rightarrow \mathbb R$ durch $f_1(x):=\sqrt{x}$ und $f_{n+1}:=\sqrt{x+f_n(x)}$ mit $(n\in\mathbb N, x\geq 0)$. \begin{enumerate} \item[a)]Zeigen Sie: $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ konvergiert punktweise gegen eine Funktion $f:[0,\infty[\rightarrow\mathbb R$ und berechnen Sie diese. \item[b)] Die Konvergenz ist gleichmäßig auf jedem Intervall $[a,b]$ mit $0<a<b$, aber nicht auf $[0,1]$.\end{enumerate}\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ Bei Teil a) hab ich Monotonie und Beschränktheit per Induktion gezeigt und folgende Grenzfunktion berechnet: $\begin{eqnarray} f(x):=\left\{\begin{array}{r@{\quad:\quad}l}0 & x=0\\ \frac{1+\sqrt{1+4x}}{2} & x>0\end{array}\right. \end{eqnarray}$ Vielen Dank... Edit (MSS): Latex verbessert.
22.12.2004, 11:58	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
b) man könnte argumentieren das alle f_n stetig sind (in 0) aber das deine Grenzfunktion in 0 nicht stetig ist, damit folgt, das die Folge auf [0,1] nicht gleichmäßig konvergiert. Die gleichmäßige Konvergenz läuft auch über Stetigkeit. \|f_n - f \| ist stetig auf [a,b] für 0<a<b, da dass ein kompaktes Intervall ist, auch gleichmäßig stetig. Damit folgt gleichmäßig konvergent.
06.10.2005, 00:01	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@quarage Bin grad auf den alten Thread gestoßen. Und da konnt ich mich leider nicht zurückhalten, ich muss nochmal drauf antworten. Denn wie kommst du denn darauf, dass aus der gleichmäßigen Stetigkeit die gleichmäßige Konvergenz folgt? Soweit ich weiß, ist das im Allgemeinen falsch. Man könnte hier aber z. B. mit dem Satz von Dini argumentieren. Dass die Voraussetzungen erfüllt sind, sieht man relativ schnell ein. Ein bisschen langwieriger, aber dafür elementarer ist folgender Weg, der sogar zeigt, dass die Konvergenz auf jedem Intervall der Form $\begin{eqnarray} [a,\infty) \end{eqnarray}$ gleichmäßig ist. Für $\begin{eqnarray} x\geq a \end{eqnarray}$ gilt dann nämlich: $\begin{eqnarray} \|f_n(x)-f(x)\|=f(x)-f_n(x)=\frac{(f(x))^2-(f_n(x))^2}{f(x)+f_n(x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{\frac{1}{4}(1+4x+1+2\sqrt{4x+1})-(x+f_{n-1}(x))}{f(x)+f_n(x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{\frac{1+\sqrt{4x+1}}{2}+x-(x+f_{n-1}(x))}{f(x)+f_n(x)}=\frac{f(x)-f_{n-1}(x)}{f_n(x)+f(x)}\leq\frac{f(x)-f_{n-1}(x)}{2f(x)} \end{eqnarray}$ . Dies führt rekursiv auf $\begin{eqnarray} f(x)-f_n(x)\leq \frac{f(x)-f_0(x)}{(2f(x))^n}=\frac{f(x)}{(2f(x))^n}=\frac{1}{2^n(f(x))^{n-1}}\leq \frac{1}{2^n(f(a))^{n-1}}\leq \frac{1}{2^n} \end{eqnarray}$ , letzteres wegen $\begin{eqnarray} f(a)=\frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}\geq \frac{1+1}{2}=1 \end{eqnarray}$ . Naja und diese Abschätzung zeigt dann die gleichmäßige Konvergenz. Gruß MSS
06.10.2005, 01:23	Marcyman	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bist du denn bei a) auf die Grenzwertfunktion gestoßen? Hatte ne ähnliche Aufgabe und konnte eben nur die Konvergenz durch Satz von monotonen Folgen beweisen.
06.10.2005, 12:11	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Marcyman Kannst ja für deine Folge noch nen neuen Thread aufmachen, wenn du noch Probleme haben solltest ... Zu deiner Frage: Hat man die (punktweise) Konvergenz bewiesen, so bekommt man durch den Grenzübergang $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{x+f(x)} \end{eqnarray}$ . Gruß MSS

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