Elastizität der Umkehrfunktion

20.12.2004, 22:21	pumi	Auf diesen Beitrag antworten »
Elastizität der Umkehrfunktion Hi! Ich brauch Hilfe zu folgender Aufgabe: zeige, dass für die Elastizität der Umkehrfunktion f^-1 gilt Ef^-1 = 1/Ef(f^-1(x)) Jede Hilfe ist willkommen!
21.12.2004, 12:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der von dir angegebene Satz ist so nicht richtig, es muss heissen: $\begin{eqnarray} E_{f}^{-1}(x) = \frac{1}{E_{f}(x)} \end{eqnarray}$ _______________________________________________________ Der Ausdruck $\begin{eqnarray} E_{f}(x) = f '(x) \cdot \frac{x}{f(x)} \end{eqnarray}$ heisst die Elastizität von f an der Stelle x. ----------------------------------------------------------------------------- Betrachten wir nun die gegebene Funktion $\begin{eqnarray} y = f(x) \end{eqnarray}$ , dann ist die Umkehrfunktion (implizit) beschrieben durch (Vertauschung der Variablen!): $\begin{eqnarray} x = f(y) \end{eqnarray}$ Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt: $\begin{eqnarray} f^{-1} \ '(x) = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{f '(x)} \end{eqnarray}$ , das ist nebenbei ein bekannter Satz. Für die Elastizität der Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} E_{f}(y) = E_{f}^{-1}(x) = f '(y) \cdot \frac{y}{f(y)} \end{eqnarray}$ setzen wir noch (wegen Vertauschung der Variablen) für y = x und für f(x) = x und erhalten $\begin{eqnarray} E_{f}^{-1}(x) = \frac{1}{f '(x)} \cdot \frac{f(x)}{x} \end{eqnarray}$ und dies ist genau der Kehrwert von $\begin{eqnarray} E_{f}(x) \end{eqnarray}$ ! Somit ist $\begin{eqnarray} E_{f}^{-1}(x) = \frac{1}{E_{f}(x)} \end{eqnarray}$ Gr mYthos

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