Austauschsatz von Steinitz |
| 21.12.2004, 01:36 | ysmini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Austauschsatz von Steinitz Ich haette eine Verstaendnisfrage zum Austauschsatz von Steinitz. In meinem Skript steht er folgendermassen: Sei u_1, ...,u_n mit n in N eine Basis eines endlich erzeugten Vektorraums V, und seien v_1, ... , v_m linear unabhaengige Vektoren in V. Dann gibt es u_i_m+1, ... , u_i_n in {u_1 , ... , u_n}, so dass v_1, ... , v_m , u_i_m+1, ... , u_i_n eine Basis von V ist. Ich verstehe nicht ganz die Bezeichnung u_i_m+1, ... , u_i_n . Was ist damit gemeint? Vielen Dank schon im Voraus. |
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| 21.12.2004, 02:05 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast einen endlich erzeugten Vektorraum V. Zu diesem Vektorraum kennst du eine Basismenge: . Die Vektoren aus B sind also alle linear unabhängig und erzeugen V. Nun ist eine weitere linear unabhängige Menge gegeben: . Diese Menge spannt aber nicht zwangsläufig V ganz auf. Der Satz besagt nun, dass du Vektoren in B finden kannst, so dass sie die Menge C zu einer Basismenge von V ergänzen. Es existieren also Elemente , so dass eine Basis von V ist. Die seltsam gewählen Indizes sind eine Umbenennung, um mit der zuvor gewählten Bezeichnung nicht in Konflikt zu kommen. Der Index des Index soll zeigen, wieviele weitere Vektoren zur Ergänzung gewählt werden müssen (nämlich m+1, m+2, ..., n). |
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| 21.12.2004, 11:05 | ysmini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo. >Es existieren also Elemente u_i_m+1,...,u_i_n, so dass >v_1, ... , v_m , u_i_m+1 ,... ,u_i_n eine Basis von V ist. >Die seltsam gewählen Indizes sind eine Umbenennung, um mit der >zuvor gewählten Bezeichnung nicht in Konflikt zu kommen. Der Index >des Index soll zeigen, wieviele weitere Vektoren zur Ergänzung >gewählt werden müssen (nämlich m+1, m+2, ..., n). Ok, ich verstehe nun was der Index des Index anzeigen soll. Ich komme aber noch durcheinander bei dem i. Wieso nimmt man als Index i ? Was ist i ? Nochmal danke. |
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| 21.12.2004, 11:38 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Offenbar doch nicht so richtig:
sind einfach (paarweise verschiedene) Indizes aus dem Bereich 1,...,n . Ob man die nun i oder j oder sonstwie nennt, ist doch völlig egal. |
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| 21.12.2004, 12:45 | ysmini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
>>Zitat: >>Original von ysmini >>Ok, ich verstehe nun was der Index des Index anzeigen soll. >Offenbar doch nicht so richtig: >>Zitat: >>Original von ysmini >>Ich komme aber noch durcheinander bei dem i. >>Wieso nimmt man als Index i ? Was ist i ? >sind einfach (paarweise verschiedene) Indizes aus dem Bereich >1,...,n . >Ob man die nun i oder j oder sonstwie nennt, ist doch völlig egal. Thank you very much for your reply. unfortunately I am having problems with understanding that. I know very well that it is irrelevant whether you name it i or j. But what troubles me is the use of double indices in general. I know that in this case we are using them to avoid confusion and that we need to take vectors from B to complete C in order for it to be a basis. But can somebody possibly explain that to me in a little more detail? i just dont get the whole principle that lies beneath. I am not very familiar with it. Thank you in advance. I appreciate your help. |
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| 22.12.2004, 21:40 | Anirahtak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo ysmini, dann will ich mal versuchen, dir das zu erklären. Du wählst aus der Menge n-m Vektoren. Diese Vektoren sind nicht völlig beliebig, sondern sie hängen von den ab. Jetzt könnte es sein, dass die Vektoren die du aus wählst sind. Oder oder oder oder. Naja weil man ja nicht irgendwelche Ziffern als Index schreiben will/kann, Nennt man bei die Indizes i und nummeriert sie durch, dann sieht man auch gleich wie viele es sind. Ist es jetzt klarer? Gruß Anirahtak |
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