Körpererweiterung in Z2

21.12.2004, 22:12

JeJo

Körpererweiterung in Z2

Huhu, ich hab folgende Aufagabe gekriegt und komm da einfach net weiter unglücklich

Sei a Nullstelle von x^3 + x + 1 in Z2 in einem geeigneten Erweiterungskörper von Z2.

Die Frage ist, wieviel Elemente hat dieser Erweiterungskörper.

Normalerweise muß ich ja die Nullstelle in R oder C einfach berechnen und dann den Z2 damit anjungieren. Mein Problem ist, ich hab kein Plan, wie diese Nullstelle aussieht. Wenn ich das bei maple eingebe kommt ein total besch.... Ausdruck raus, der absolut net richtig sein kann.

Über baldige Hilfe wär ich sehr erfreut

MfG

JeJo

21.12.2004, 22:50

Leopold

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Am besten, du versuchst dir erst gar nicht vorzustellen, wie diese Nullstelle aussieht. Akzeptiere einfach ihre Existenz und nenne sie $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Das ist hier also keine Variable, sondern Name für ein ganz bestimmtes Objekt (ebenso wie in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ das Zeichen $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ für ein ganz bestimmtes Objekt steht, dessen tatsächliches Aussehen z.B. als Dezimalbruch sehr oft ohne Belang ist).

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2(\alpha) \end{eqnarray*}$ ist nun der kleinste Oberkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ , der $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ enthält. Da $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ Nullstelle von $\begin{eqnarray*} x^2 + x + 1 \end{eqnarray*}$ ist, kann man den Linearfaktor $\begin{eqnarray*} x + \alpha \end{eqnarray*}$ abspalten (beachte, daß in Körpern der Charakteristik 2 minus gleich plus ist). Es bleibt ein weiterer Linearfaktor übrig. Oder anders gesagt: $\begin{eqnarray*} x^2 + x + 1 \end{eqnarray*}$ zerfällt in Linearfaktoren und muß daher eine zweite Nullstelle $\begin{eqnarray*} \overline{\alpha} \end{eqnarray*}$ besitzen. Jetzt zeigt ein Koeffizientenvergleich:

$\begin{eqnarray*} x^2 + x + 1 = (x + \alpha)(x + \overline{\alpha}) = x^2 +(\alpha + \overline{\alpha}) x + \alpha \overline{\alpha} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha + \overline{\alpha} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha \overline{\alpha} = 1 \end{eqnarray*}$

Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen sowie den Beziehungen

$\begin{eqnarray*} \alpha^2 = \alpha + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline{\alpha}^2 = \overline{\alpha} + 1 \end{eqnarray*}$

die sich aus der Polynomgleichung ergeben, kannst du nun zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \left\{ 1,0,\alpha,\overline{\alpha} \right\} \end{eqnarray*}$ bezüglich allen Körperoperationen abgeschlossen ist, mit anderen Worten also ein Körper ist. (Stelle die Additions- und Multiplikationstabelle auf.) Wegen der Minimalitätsbedingung (siehe oben) folgt daher:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2(\alpha) = \left\{ 1,0,\alpha,\overline{\alpha} \right\} \end{eqnarray*}$

Der hier vorgestellte Zugang ist elementar. Wenn dir aus der Vorlesung mehr Mittel zur Verfügung stehen (z.B. Restklassenring in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2[x] \end{eqnarray*}$ modulo dem maximalen Ideal, das von $\begin{eqnarray*} x^2 + x + 1 \end{eqnarray*}$ erzeugt wird), kannst du natürlich auch versuchen, einen kürzeren Beweis finden.

21.12.2004, 23:06

JeJo

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Ich danke dir vielmals, allerdings ist mir vorhin ein kleiner Fehler unterlaufen, den ich erst nach 2 Minuten selber gemerkt habe. Und zwar handelt es sich um das Polynome 3. Grades $\begin{eqnarray*} x^3+x+1 \end{eqnarray*}$

Aber ich versuch den gleichen Ansatz da einfach mal.

Aber danke trotzdem, damit hast du mich in ner anderen Aufgabe bestätigt, die ich ähnlich gelöst habe. Deswegen wohl auch der Verwechsler.

Ach ja, sollte ich mit dem Ansatz net weiterkommen, bitte gleich Stopp schreiben smile

JeJo

22.12.2004, 12:09

JeJo

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Also ich habs jetzt mit nem Kumpel auf folgendem Wege gemacht, wär cool, wenn mir wer sagen kann, ob das so halbwegs richtig ist oder kompletter Schwachsinn.

Da f=x^3+x+1 in F2 irreduzibel ist, muß es das Minimalpolynom von a sein und [F2(a):F2]=3 da f den Grad 3 hat.

Also gits es eine 3-elemtrige Basis von F2(a) und jedes Element läßt sich schreiben als

$\begin{eqnarray*} \alpha +\beta a+\gamma b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha ,\beta ,\gamma \end{eqnarray*}$ aus F2.

Es kommen also nur 8 Elemente in Frage, da $\begin{eqnarray*} \alpha ,\beta ,\gamma \end{eqnarray*}$ = 0 oder 1.

Jetzt hab ich nur ein Problem, wie stell ich da die Multiplikationstafel auf und wir sollen noch zeigen, daß der Körper F2(a) der Zerfällungskörper von

$\begin{eqnarray*} x^8+x=(x)(x+1)(x^3+x+1)(x^3+x^2+1) \end{eqnarray*}$

ist. Wie seh ich aber, daß in dem Körper schon die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^3+x^2+1 \end{eqnarray*}$ sind??

22.12.2004, 14:09

Leopold

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Zitat:

Original von JeJo
Wie seh ich aber, daß in dem Körper schon die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^3+x^2+1 \end{eqnarray*}$ sind??

Es ist schon so lange her, daß ich mich mit so etwas beschäftigt habe. Daher kann ich dir nur eine Lösung "zu Fuß" anbieten. Wahrscheinlich gibt es da elegantere Ansätze.

Es sei also $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle des über $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ irreduziblen Polynoms $\begin{eqnarray*} \varphi(x) = x^3 + x + 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L = \mathbb{Z}_2(a) \end{eqnarray*}$ .

Wie du schon erkannt hast, ist $\begin{eqnarray*} [L:K]=3 \end{eqnarray*}$ , so daß sich die Elemente von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ in der Form

$\begin{eqnarray*} s_0 + s_1 a + s_2 a^2 \ \text{mit} \ s_0,s_1,s_2 \in K \end{eqnarray*}$

schreiben lassen (beachte, daß dein $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ ist). Warum jetzt nicht alle Elemente durchprobieren, ob sie Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ sind?

Die Nullstelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kennen wir schon. Daher spalten wir den Linearfaktor $\begin{eqnarray*} x+a \end{eqnarray*}$ ab. Ein ganz gewöhnliche Polynomdivision liefert

$\begin{eqnarray*} x^3 + x + 1 = (x + a) \left(x^2 + ax + (1+a^2) \right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt probiert man durch, welche Elemente von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ Nullstellen des quadratischen Faktors $\begin{eqnarray*} \psi(x) \end{eqnarray*}$ sind. Und man findet tatsächlich zwei: die eine ist $\begin{eqnarray*} a + a^2 \end{eqnarray*}$ , und die andere kannst du selbst einmal probieren:

$\begin{eqnarray*} \psi(a+a^2) = \left( a + a^2 \right)^2 + a (a + a^2) + (1 + a^2) = (a^2 + a^4) + (a^2 + a^3) + (1 + a^2) = a^4 + a^3 + a^2 + 1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt verwendet man $\begin{eqnarray*} a^3 + a + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a^3 = a + 1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \psi(a+a^2) = a a^3 + a^3 + a^2 + 1 = a (a + 1) + (a + 1) + a^2 + 1 = a^2 + a + a + 1 + a^2 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, eine Lösung "zu Fuß". Für das erste Verständnis vielleicht aber gar nicht schlecht.

23.12.2004, 02:52

JeJo

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Du bist mein Held, vor allem, weil du die Sachen immer "zu Fuß" beweist was mir ne Menge für das Verständnis des Thema bringt.

Nur eine Frage hab ich noch:

Warum ist mein b gerade a^2???

Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist a ja meine Nullstelle, warum ist dann a^2 automatisch auch ne Nullstelle oder sind die Nullstellen nicht die Basis des Vektorraums F2(a) über F2???

Nur mal als Beispiel:

x^3-2 hat die Nullstellen a=3. Wurzel aus 2 und b=e*3. Wurzel aus 2 bzw c=e^2*3. Wurzel aus 2 mit e=3. Einheitswurzel

Dabei ist aber b,c nicht a^2 , wo liegt da mein Denkfehler?

Trotzdem danke schonmal und allen die das lesen schon mal frohe weihnachten.

JeJo

23.12.2004, 14:15

Leopold

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$\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ ist ja gar keine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ . Das habe ich nirgendwo behauptet. Vielmehr ist $\begin{eqnarray*} a^2 + a \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ , wie ich im vorigen Beitrag vorgerechnet habe.

Die Potenzen $\begin{eqnarray*} 1,a,a^2 \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig über dem Grundkörper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Denn wären sie es nicht, würde eine Gleichung

$\begin{eqnarray*} s_0 + s_1 \cdot a + s_2 \cdot a^2 = 0 \end{eqnarray*}$

bestehen, in der nicht alle $\begin{eqnarray*} s_0,s_1,s_2 \in K \end{eqnarray*}$ Null sind. Damit wäre $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ Nullstelle eines Polynoms über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ von einem Grade <3. Das ist aber unmöglich, da $\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist und den Grad 3 besitzt.

Wegen $\begin{eqnarray*} [L:K] = 3 \end{eqnarray*}$ bilden $\begin{eqnarray*} 1,a,a^2 \end{eqnarray*}$ somit eine Basis von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ als Vektorraum über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Damit lassen sich alle Elemente von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ als quadratische Ausdrücke in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ darstellen. Die 8 Elemente von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ sind daher

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot 1 + 0 \cdot a + 0 \cdot a^2 = 0 \in K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 1 + 0 \cdot a + 0 \cdot a^2 = 1 \in K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \cdot 1 + 1 \cdot a + 0 \cdot a^2 = a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \cdot 1 + 0 \cdot a + 1 \cdot a^2 = a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 1 + 1 \cdot a + 0 \cdot a^2 = 1 + a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 1 + 0 \cdot a + 1 \cdot a^2= 1 + a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \cdot 1 + 1 \cdot a + 1 \cdot a^2 = a + a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 1 + 1 \cdot a + 1 \cdot a^2 = 1 + a + a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist gemäß Voraussetzung Nullstelle von $\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a+a^2 \end{eqnarray*}$ aber ebenso (siehe meinen vorigen Beitrag). Und dann besitzt $\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ noch eine weitere Nullstelle. Welche?

24.12.2004, 00:07

JeJo

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So, ganz normale Polynomdivision von x^2+ax+a^2+1 hat bei bei mir ergeben, dass f=(x+a)(x+a^2+a)(x+a^2) also dass a^2 die letzte Nullstelle von f ist.

Ausserdem seh ich, dass a und a^2 Nullstelle des Polynoms x^3+x^2+1 ist. Polynomdivision des Polynoms durch x+a und x+a^2 liefert nach meiner Rechnung

$\begin{eqnarray*} x^3+x^2+1=(x+a)(x+a^2)(x+a^2+a+1) \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} a^2+a+1 \end{eqnarray*}$ die letzte gesuchte Nullstelle und somit ist F2 der Zerfaellungskoerper von $\begin{eqnarray*} x^8+x \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} a^2+a+1 \end{eqnarray*}$ ja in F2 liegt.

Hab ich das jetzt komplett richtig verstanden? Ach ja Multiplikationstafel aufzustellen ist damit natuerlich auch net mehr schwer. smile

Ich danke dir nochmals vielmals und frohe Weihnachten.

JeJo

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