Vektorraum, Erzeugendensystem |
| 22.12.2004, 12:26 | Feuer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Vektorraum, Erzeugendensystem Sei V ein Vektorraum mit einem endlich erzeugten Erzeugendensystem E der Kardinalidät m. Ist S eine linear unabhängige Teilmenge der Kardinalität n, so ist . Nun soll ich das auf folgende Art beweisen: Sei S= {} , E= {} , sei n>m. Wir suchen eine nicht-triviale Linearkombination . Dabei wollen wir die einer nicht-trivialen Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems AX = 0 mit n Variablen und m Gleichungen entnehmen. Welches Gleichungssystem AX = 0 nimmt man ? Und warum besitzt es eine nicht-triviale Lösung? Bitte helft mir!!! DANKE!! |
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| 22.12.2004, 17:52 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Vektorraum, Erzeugendensystem
Was soll denn das sein? |
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| 23.12.2004, 14:56 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich glaube du hast hier eine ziemlich allgemeine Def von einem Vektorraum. Etwas in folgender Art. V ist ein k-VR wenn gilt: 1) eine additive abelsche Gruppe ( a priori völlig unabhängig von k) 2) k ist ein Körper 3) zwischen den Elementen des VR und dem Körper k ist eine Skalarmultiplikation definiert, die das Distributivgesetz erfüllt. Also für v,w aus V und i, j aus k ist (v+w)i = vi+wi v(i+j) = vi+vj v(ij) = (vi)j Jetzt kann man gucken wie viele Elemente man braucht, um damit den gesamten VR zu erzeugen. Man kann zeigen, das die minimale Anzahl dafür fest ist und definiert das als dim des VR, das ist die Kardinalität m. Das lineare LGS hast du quasi schon hingeschrieben, schau mal deine Summe genau an, das \lambda ist ein Vektor und die v_i auch, jetzt kann man noch die v_i als eine Matrix schreiben (n Vektoren mit m Komponenten) und die nichttriviale Lösung müsste dann mit der Dimension folgen. (LGS mit n Unbekannten und m Gleichungen n>m ) |
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| 23.12.2004, 23:54 | Bloodman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. blöde zeichen.. S={v1,v2,...,vn} g1 bis gn ist dieses andeer zeihen das ich nicht machen kann also ist g1*v1+g2*v2+g3*v3+....+gn*vn=0 dann teilt man durch g1 wobei g1 =! 0 (also keine triviale lösung) -->v1+g2'*v2+....+gn'*vn=0 <--> g2'*v2+....+gn'*vn = -v1 jetzt haben wir ein gleichungssystem das keine triviallösung mehr zu lässt da ein echter wert -v1 raus kommt das ursprungssystem bestitz somit auch die gleiche nicht triviale lösung |
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