kompaktes intervall

22.12.2004, 13:38

komint

kompaktes intervall

hi, ich habe da eine frage: ein kompaktes intervall (auf R) ist definiert als ein abgeschlossenes und beschränktes intervall [a,b] teilmenge von R. kann mir zwar klarmachen, dass etwa ein intervall (a,b) zwar beschränkt ist, aber nicht abgeschlossen. aber andersherum: was wäre denn ein zwar abgeschlossenes, nicht aber beschränktes intervall? impliziert nicht abgeschlossenheit beschränktheit?
danke!

22.12.2004, 14:22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: kompaktes intervall

Zitat:

Original von komint
impliziert nicht abgeschlossenheit beschränktheit?

Nein. So ist z.B. IR selbst sowohl offen als auch abgeschlossen.

22.12.2004, 14:31

komint

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: kompaktes intervall
und wie sieht dann R als intervall aus?
R = (..., ...) und gleichzeitig
R = [..., ...] ???

22.12.2004, 14:38

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: kompaktes intervall
Wie üblich $\begin{eqnarray*} R=(-\infty,\infty) \end{eqnarray*}$ als offenes Intervall, da ja die Grenzen +/- Unendlich nicht dazu gehören. Trotzdem ist dieses Intervall als Menge auch abgeschlossen (man bezeichnet es nur nicht als abgeschlossenes Intervall) - schau dir mal die Definition von "Abgeschlossenheit" an!

22.12.2004, 17:48

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: kompaktes intervall

Zitat:

Original von Arthur Dent
Wie üblich $\begin{eqnarray*} R=(-\infty,\infty) \end{eqnarray*}$ als offenes Intervall, da ja die Grenzen +/- Unendlich nicht dazu gehören. Trotzdem ist dieses Intervall als Menge auch abgeschlossen (man bezeichnet es nur nicht als abgeschlossenes Intervall) - schau dir mal die Definition von "Abgeschlossenheit" an!

farbliche Hervorhebung durch den Zitierenden

Wieso nicht?
Ich kenne Abgeschlossenheit von Intervallen als Spezifizierung des Begriffs Abgeschlossenheit von Mengen. Insofern ist auch $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein abgeschlossenes Intervall.

@ komint
Weitere Beispiele für abgeschlossene unbeschränkte Intervalle:
$\begin{eqnarray*} [2,\infty) \, , \, (-\infty,\sqrt{3}] \end{eqnarray*}$

22.12.2004, 18:06

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: kompaktes intervall
@Leopold

Mag sein - begrifflich gebe ich mich gern geschlagen.

Immerhin gibt es Räume wie z.B. $\begin{eqnarray*} \bar{R}=R\cup\{-\infty,\infty\} \end{eqnarray*}$ , dann natürlich mit einer anderen Metrik, wo $\begin{eqnarray*} [x,\infty) \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen ist, und sich vom abgeschlossenen $\begin{eqnarray*} [x,\infty] \end{eqnarray*}$ unterscheidet... aber das gehört jetzt wohl nicht mehr hierher.

22.12.2004, 20:04

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das eigentliche Problem ist wohl, daß die meisten als Schüler die Begriffe Abgeschlossenheit und Offenheit zum ersten Mal bei Intervallen kennenlernen und den tieferen topologischen Sinn dahinter nicht wissen können. Und dann treten ihnen als abgeschlossene Intervalle wohl nur solche vom Typ [a,b] entgegen, so daß irgendwann einmal die Abgeschlossenheit damit identifiziert wird. Ich denke, viele Lehrer werden das auch nicht (mehr) so genau wissen und ihren Schülern daher von vorneherein unvollständig/falsch beibringen.

Die Erfahrungen, die man bei der Beschäftigung mit einem Gegenstand als erste gemacht hat, prägen und sie nur ganz schwer mit späteren Erweiterungen zusammenzubringen.
Ich will das einmal am Beispiel "Zahl" und der Rechenoperation "Multiplikation" verdeutlichen. Grundschüler lernen Zahlen als positive ganze Zahlen kennen - wie sollte es auch anders sein! Und sie machen die Erfahrung, daß Multiplizieren, vom Sonderfall der 1 einmal abgesehen, vergrößert. Später, nach der Grundschule, lernen die Schüler dann Brüche kennen, und natürlich sehen sie, daß das Multiplizieren jetzt auch verkleinern kann. Aber kaum sie es gesehen haben, ist es schon wieder weg. Die alte Erfahrung "multiplizieren vergrößert" läßt sich bei der Mehrheit der Schüler nicht wirklich verdrängen, auch wenn im gesamten Kontext immer $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zugrundeliegt. So sind die meisten Schüler durchaus in der Lage, den Gleichungskalkül richtig anzuwenden, und ihnen begegnen immer wieder Lösungen wie $\begin{eqnarray*} x = \frac{2}{3} \, , \, - \frac{7}{5} \end{eqnarray*}$ , aber wenn du ihnen die Fragen stellst:

Womit muß man 3 multiplizieren, damit

i) 12
ii) 21
iii) 2

herauskommt?, dann können sie i),ii) leicht beantworten und sagen bei iii) spontan: Geht nicht!

Neue Frage »

Antworten »

kompaktes intervall

Verwandte Themen