Logarithmusgleichung

22.12.2004, 18:58

Christian123

Logarithmusgleichung

Hallo,

ich komme bei folgender Aufg. nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} ln 16x^{2} - ln 8x^{2} = 2ln4x^{2} - lnx^{2} - ln8 \end{eqnarray*}$

Ich bin soweit gekommen:

ln2 =ln x²-ln2

ln4=2*ln x

Sind bis hierhin schon fehler drin? Wenn nicht wie rechnet man weiter?

Danke,

Christian

22.12.2004, 19:05

E(L^2)Y

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ln(16x²) ist doch 2ln(4x)

das mit 8 bringt mich jetzt ganz durcheinander, denn die 2. wurzel aus 8 geht sich nicht auf eine ganze zahl aus, was hier wahrscheinlich sein sollte, bei schulbeispielen is da ja meistens so

22.12.2004, 19:08

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RE: Logarithmusgleichung
Du hast dich tatsächlich verrechnet. verwirrt

Und Vorsicht, Falle: ln(x²)=2*ln(x) gilt nur für x>0, der Ausdruck ln(x²) ist aber auch für x<0 erklärt!

22.12.2004, 19:16

etzwane

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Es ist z.B.

$\begin{eqnarray*} \ln(ax^2) = ln(a) + ln(x^2) \end{eqnarray*}$

Das entsprechend eingesetzt, ergibt eine ganz einfache Gleichung für ln(x²)

22.12.2004, 19:22

Christian123

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ok, ich machs mal ausführlicher, vielleicht könnt ihr mir dann erklären was ich falsch mache:
$\begin{eqnarray*} ln 16x^{2} - ln 8x^{2} = 2ln4x^{2} - lnx^{2} - ln8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln \frac{16x^{2} }{8x^{2}} = 2ln4x^{2} - lnx^{2} - ln8x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln 2 = ln4x^{2+2} - lnx^{2} - ln8 \end{eqnarray*}$

stimmt es denn soweit?

22.12.2004, 19:26

E(L^2)Y

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Zitat:

Original von Christian123
ok, ich machs mal ausführlicher, vielleicht könnt ihr mir dann erklären was ich falsch mache:
$\begin{eqnarray*} ln \frac{16x^{2} }{8x^{2}} \end{eqnarray*}$

warum 16/8? da steht doch minus da...

Zitat:

Original von Arthur Dent
Und Vorsicht, Falle: ln(x²)=2*ln(x) gilt nur für x>0, der Ausdruck ln(x²) ist aber auch für x<0 erklärt!

ln von einer negativen zahl geht doch gar nicht....oder täusch ich mich da? also wir hatten immer x>0

\\EDIT by sommer87: Doppelpost zusammengefügt. Bitte EDIT nutzen.

22.12.2004, 19:36

Christian123

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is denn nich ln a - ln b = ln a/b?

22.12.2004, 19:42

E(L^2)Y

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achso.....ja klar! sorry! uuups....nehm alles zurück. so schnell kann's gehen! sorry

22.12.2004, 19:43

etzwane

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Zitat:

Original von Christian123
$\begin{eqnarray*} ln \frac{16x^{2} }{8x^{2}} = 2ln4x^{2} - lnx^{2} - ln8x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln 2 = ln4x^{2+2} - lnx^{2} - ln8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2ln4x^{2} \neq ln4x^{2+2} \end{eqnarray*}$

22.12.2004, 19:46

Calvin

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Um mal ein bißchen Übersicht reinzubringen, hier die Logarithmusgesetze:

$\begin{eqnarray*} \ln(a*b)=\ln{a}+\ln{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ln(a/b)=\ln{a}-\ln{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ln(a^b)=b\ln{a} \end{eqnarray*}$

Für weitere Umformungen kannst du 4=2^2 und 8=2^3 schreiben. Wenn du nun die obigen Gesetze konsequent anwendest, bekommst du etwas in der Form a*ln(2)=b*ln(x^2). Dies kannst du dann auflösen, indem du auf beiden Seiten e^ nimmst. [Edit] Nachrechnen ergab, dass es noch einfacher wird Augenzwinkern

@E(L^2)Y
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert, da hast du Recht. Aber x^2 ist für alles x außer 0 eine positive Zahl. Deshalb muß man hier aufpassen.

PS Habe nochmal editiert.

22.12.2004, 19:50

E(L^2)Y

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Zitat:

Original von etzwane
$\begin{eqnarray*} 2ln4x^{2} \neq ln4x^{2+2} \end{eqnarray*}$

klar....gehört doch so:
$\begin{eqnarray*} 2ln4x^{2} \neq ln4^{2}x^{2+2} \end{eqnarray*}$

22.12.2004, 19:52

Calvin

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Zitat:

Original von E(L^2)Y
klar....gehört doch so:
$\begin{eqnarray*} 2ln4x^{2} \neq ln4^{2}x^{2+2} \end{eqnarray*}$

Es ist zwar hier zufällig das gleiche Ergebnis, aber es muß heißen: $\begin{eqnarray*} 2ln4x^{2} = ln4^{2}x^{2*2} \end{eqnarray*}$

22.12.2004, 19:53

E(L^2)Y

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ach, ja klar *g* hab nämlich deinen code geschnappt und vergessen das "ist nicht" zu ändern.....ich und latex, aber das wird schon noch *sfg*

22.12.2004, 19:55

Calvin

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Es war noch etwas anderes zu ändern. Die Potenzen beim x werden multipliziert (nicht addiert!)

22.12.2004, 19:58

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Zitat:

Original von Calvin
Die Potenzen beim x werden multipliziert (nicht addiert!)

Das ist letzten Endes Geschmackssache, schließlich ist

$\begin{eqnarray*} x^4=\left(x^2\right)^2=x^2\cdot x^2 \end{eqnarray*}$ ,

also haben beide Schreibweisen 2*2=2+2 ihre Berechtigung!

22.12.2004, 19:59

E(L^2)Y

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was is dann mit 2+3 und 2*3 *g*
also meiner meinung nach wird das wohl addiert! bei multiplikation....und bei division subtrahiert
verwirren wir uns jetzt gegenseitig?

22.12.2004, 20:05

Calvin

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In diesem speziellen Fall schon. Aber ich finde das multiplizieren sinnvoller, damit es bei $\begin{eqnarray*} 3\ln(x^2)=\ln((x^2)^3)=\ln(x^6)\neq\ln(x^{2+3}) \end{eqnarray*}$ keine Probleme gibt.

22.12.2004, 20:08

E(L^2)Y

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achso...ja klar! so kann man's auch sehen! muss man hier eh *g*

aber back to christian....kennst du dich jetzt aus?

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} x^4=\left(x^2\right)^2=x^2\cdot x^2 \end{eqnarray*}$

dann wär ja 2+3 gleich 2*3.....is es aber nicht
in einer normalen muliplikation werden sie addiert, also x²+x³=x^5
aber (x²)³ ist nicht x²+x³ => (x²)³=x^6

\\EDIT by sommer87: Doppelpost zusammngefügt: Bitte EDIT nutzen.

22.12.2004, 20:22

Calvin

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@E(L^2)Y

Ich will jetzt nicht unbedingt zu Off-Topic werden, deshalb wäre es nicht schlecht, wenn du bei Probleme mit Potenzgesetzen einen neuen Thread eröffnenen würdest, oder dir mal http://www.matheboard.de/mathe-tipp-zeigen,Potenzgesetze.htm bzw. meine pn durchliest. Der von dir angegebene Ausdruck x^2+x^3 läßt sich nicht vereinfachen!

22.12.2004, 20:25

Christian123

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naja, nich wirklich... Ich habs jetzt mal versucht wie es mir Calvin erklärt hat:

$\begin{eqnarray*} ln 2 = ln2^{2}x^{2*2} - lnx^{2} - ln2^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln 2 = ln\frac{2^{2}x^{2*2}}{x^{2} } - ln2^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln 2 = ln2^{2} x^{2} - ln2^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln 2 = \frac{ln1x^{2}}{ln2} \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?

22.12.2004, 20:30

Calvin

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Zitat:

Original von Christian123
naja, nich wirklich... Ich habs jetzt mal versucht wie es mir Calvin erklärt hat:

$\begin{eqnarray*} ln 2 = ln2^{2}x^{2*2} - lnx^{2} - ln2^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln 2 = ln\frac{2^{2}x^{2*2}}{x^{2} } - ln2^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln 2 = ln2^{2} x^{2} - ln2^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln 2 = \frac{ln1x^{2}}{ln2} \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?

Mit Ausnahme der letzten Zeile stimmt es. Wende auf die rechte Seite mal noch ln(a*b) = ln(a) + ln(b), sowie ln(a^b) = b*ln(a) an, damit du überall ln(2) bzw ln(x^2) stehen hast.

22.12.2004, 20:32

E(L^2)Y

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Zitat:

Original von Calvin
bzw. meine pn durchliest. Der von dir angegebene Ausdruck x^2+x^3 läßt sich nicht vereinfachen!

klar....wollt auch x^2*x^3 schreiben

22.12.2004, 20:48

Christian123

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Also:

$\begin{eqnarray*} ln2 =2ln2+lnx^{2} - 3ln2 \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich mir unsicher:

$\begin{eqnarray*} ln2 = \frac{2ln2}{3ln2} + lnx^{2} \end{eqnarray*}$
ln 2 = 2/3 +lnx²

22.12.2004, 20:58

Calvin

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Da, wo du dir unsicher bist, wird es falsch. ln(2) ist ja eine Zahl, deshalb kannst du hier ausklammern. a*ln(2) + b*ln(2) = (a+b)*ln(2). Da hast du ein bißchen zu kompliziert gedacht Augenzwinkern

Aber es ist noch ein weiterer Fehler drin, den du womöglich im Laufe der Diskussion übersehen hast.

Du hast auf der vorherigen Seite die Zeile $\begin{eqnarray*} \ln(2) = 2ln4x^{2} - lnx^{2} - ln8x \end{eqnarray*}$ Der nächste Schritt, den du machst, ist nicht richtig. Es gilt $\begin{eqnarray*} 2\ln(4x^2)=\ln{(4x^2)^2}=\ln(4^2(x^2)^2)=\ln(16x^4) \end{eqnarray*}$ .

Probiere die Rechnung nochmal mit dieser kleinen Änderung.

22.12.2004, 21:06

E(L^2)Y

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Zitat:

Original von Christian123
Also:

$\begin{eqnarray*} ln2 =2ln2+lnx^{2} - 3ln2 \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich mir unsicher:

$\begin{eqnarray*} ln2 = \frac{2ln2}{3ln2} + lnx^{2} \end{eqnarray*}$
ln 2 = 2/3 +lnx²

calvin, ich hab jetzt deinen beitrag überflogen, weil ich mich sonst noch komplett verwirren lasse.

@christian:
ln2 = 2ln2 * lnx² / 3ln2

oder...?

edit:
tippfehler.....2ln2.....außerdem stimmt's eh nicht, muss ja das lnn rausheben

22.12.2004, 21:11

Calvin

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@E(L^2)Y

Keine Ahnung, wie du darauf kommst. Aber der letzte Schritt von Christian war schon falsch, denn $\begin{eqnarray*} 2ln(2)-ln(2)\neq\frac{2ln(2)}{ln(2)} \end{eqnarray*}$ . Ebenso hat er einen Fehler übernommen, den er schon auf der vorherigen Seite gemacht hat.

22.12.2004, 21:20

E(L^2)Y

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verdammt ich häng jetzt auch.....ich weiß zwar, was ich falsch gemacht hab, aber.....ich weiß nicht, wie ich das richtig bekomm!
ich muss ja das ln rausheben....aber es is ja nichit überall ln, sondern auch 2ln und 3ln und ich kann niciht 3 aus 1 rausnehmen

22.12.2004, 21:25

Christian123

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So habs jetzt sehr ausführlich gemacht, nur komme zum Schluss nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} ln2= ln16x^{4} -lnx^{2} -ln8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln2=\frac{ln 16 x^{4} }{lnx^{2} } - ln8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln2=ln 16x^{2} - ln 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln2=ln 2^{4} x^{2} -ln 2^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln2=ln 2^{4} + ln x^{2} - ln 2^{3} \end{eqnarray*}$

ln2=4*ln2 + lnx²-3ln2
ln2=(4-3)ln2+lnx²

ln2=ln2+lnx²
0=lnx²

und nun?

22.12.2004, 21:33

E(L^2)Y

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Zitat:

Original von Christian123
ln2=(4-3)ln2+lnx²

ln2=ln2+lnx²
0=lnx²

und nun?

ab hier versteh ich's nicht mehr. außerdem....
ln2 = ln 2/x²

22.12.2004, 21:44

etzwane

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Ich sehe, ihr habt euch hoffnungslos verirrt und wohl auch keine Lust mehr, daher einmal mein Lösungsvorschlag:

Zitat:

Original von Christian123
$\begin{eqnarray*} ln 16x^{2} - ln 8x^{2} = 2ln4x^{2} - lnx^{2} - ln8 \end{eqnarray*}$

Und ich nehme an, so wird das auch erwartet, weil sich die Zahlen so schön wegheben und weil die Unbekannte x nur als ln(x^2) auftritt:

ln(16) + ln(x^2) - ln(8) - ln(x^2) = 2*(ln(4) +ln(x^2)) - ln(x^2) - ln(8)

ln(16) - ln(8) = 2*ln(4) + 2*ln(x^2) - ln(x^2) - ln(8)

ln(16) - ln(8) - 2*ln(4) + ln(8) = ln(x^2)

und wegen 2*ln(4) = ln(4^2) = ln(16) folgt für die linke Seite = 0, also

ln(x^2) = 0

x^2 = e^0 = 1

x1 = +1 und x2 = -1 als Lösung

Aber bei eurer Rechenweise gab es viel mehr Gelegenheit, die Regeln für das Rechnen mit Logarithmen zu üben ...

22.12.2004, 21:46

Calvin

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Zitat:

Original von E(L^2)Y
ab hier versteh ich's nicht mehr. außerdem....
ln2 = ln 2/x²

Nein, Christian hat schon richtig gerechnet. Es ist 0=ln(x^2).

Für das weitere Vorgehen gibt es verschiedene Erklärungsmöglichkeiten. Es liegt an dir, welche du dir am besten merken kannst.

1) Beiden Seiten der Gleichung e^ nehmen.
2) $\begin{eqnarray*} \ln{f(x)}=0\Leftrightarrow f(x)=1 \end{eqnarray*}$ , d.h. der Logarithmus hat bei 1 seine Nullstelle.
3) Du nimmst die Definition des Logarithmus zur Hand: $\begin{eqnarray*} \log_{a}{b}=c\Leftrightarrow a^c=b \end{eqnarray*}$

22.12.2004, 21:47

E(L^2)Y

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[quote]x^2 = e^0 = 1

x1 = +1 und x2 = -1 als Lösung[quote]

versteh ich jetzt nicht so ganz....und außerdem ja, also die regeln kann/kenn ich ja, aber ich hab ehrlich gesagt heute wirklich keine lust mehr, schau da morgen oder nächste woche nochmal (bin über weihnachten nicht da)

22.12.2004, 21:48

etzwane

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Obwohl ihr so kurz vor dem Ziel wart, wie ich gerade gesehen habe:

Aus ln2 = ln 2/x² folgt ja wohl x²=1

Und aus 0=lnx² folgt auch x²=1 wegen e^0=1

Ich hätte doch noch warten sollen, sorry.

22.12.2004, 21:53

E(L^2)Y

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menno......jetzt wird's interessant, zumindest für mich! und genau das lieb ich an mathe, ich geb einfach nicht auf, aber ich muss ins bett, nützt nix...hab noch keine ferien! und muss um 3/4 6 raus! müsste.....*g*

das mit x²=1 check ich nicht....aber kommt sicher noch, sonst schick mir ne pn wenn du willst

22.12.2004, 21:55

E(L^2)Y

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Zitat:

Original von etzwane
Aus ln2 = ln 2/x² folgt ja wohl x²=1

achso....ja klar......ne....hä? wart mal...ach....ln2 wegkürzen, ja klar! Rock

edit:
code

22.12.2004, 21:57

Christian123

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hui, gut erstmal danke für Eure Hilfe. Gott

War ja doch noch nen starkes Stück Arbeit.
Den letzten Teil schaue ich mir morgen noch einmal an, das verstehe ich nämlich noch nicht wirklich....

Vielen Dank,

Christian

22.12.2004, 21:59

E(L^2)Y

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"x²=1 wegen e^0=1"

ich würd da sagen wegen ln2/ln2 = x²
1 = x²

22.12.2004, 22:03

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(Eigentlich wollte ich mich ja nicht mehr an diesem Monsterthread zu einem simplen Problem beteiligen, aber...)

Zitat:

Original von E(L^2)Y
ich würd da sagen wegen ln2/ln2 = x²

ln2 = ln 2/x² von oben bei etzwane steht für ln2 = ln(2/x²), und nicht für ln2 = (ln 2)/x² !!!! Leute, Leute ...

23.12.2004, 08:44

E(L^2)Y unreg

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achja, klar.
aber dann versteh ich das mit x²=1 echt nicht

23.12.2004, 09:03

etzwane

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Zitat:

Original von etzwane
Obwohl ihr so kurz vor dem Ziel wart, wie ich gerade gesehen habe:

Aus ln2 = ln 2/x² folgt ja wohl x²=1

Und aus 0=lnx² folgt auch x²=1 wegen e^0=1

Ich hätte doch noch warten sollen, sorry.

Das ist ja nun wirklich nicht schwer, aus ln(2)=ln(2/x²) oder aus ln(x²)=0 das x auszurechen.

Du musst nur irgendwie mathematisch korrekt das ln wegkriegen.

Allerletzter Tipp: Was ist e^(ln(a))?

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