Extremwertaufgabe |
| 01.05.2007, 10:07 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Extremwertaufgabe
Die Gerade mit der Gleichung x=u schneidet f(x) in A und g(x) in B. Wie muss u gewählt werden, damit der Flächeninhalt des Dreiecks OAB möglichst groß wird ? |
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| 01.05.2007, 10:09 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Guten Morgen Was hast du denn bisher bzw wieviele Kenntnisse besitzt du bezüglich Extremwertaufgaben ? Gruß Björn |
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| 01.05.2007, 10:12 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
guten morgen 
ich hab nicht so viele kenntnisse...ich weiß das man eig meißtens eine haupt- und eine nebenbedingung aufstellt? ich hab von den beiden funktionen jetzt erstmal die nullstellen und extrempunkte berechnet..aber jetzt weiß ich nicht weiter |
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| 01.05.2007, 10:19 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich plotte die beiden Funktionsgraphen mal für dich: Wenn du eine solche Skizze nicht schon hast mach das auf jeden Fall einmal und zeichne dann mal irgendwo im Intervall von -7 bis 0 eine senkrechte Gerade ein (Parallele zur y-Achse) , die die beiden Graphen schneidet. Verbinde die beiden Schnittpunkte dann mit dem Ursprung...um ein solches Dreieck geht es ja. Jetzt musst du dich folgendes fragen: 1) Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks ? 2) Wie kann man die entsprechenden Seiten durch die beiden Funktionen bzw durch u ausdrücken ? Hilft das weiter ? Gruß Björn |
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| 01.05.2007, 10:23 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja so eine skizze hab ich auch gemacht.. also den flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit A= aber die 2. Frage..mh..ich weiß nicht wie man das ausdrücken kann..
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| 01.05.2007, 10:25 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Prima....aber das ist doch schonmal was....und schon die halbe Miete, wenn man sich eine solche Skizze gemacht hat 
Der Knackpunkt ist jetzt was man als Grundseite und Höhe wählt. Irgendeine Idee ? |
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| 01.05.2007, 10:31 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mh...also die höhe würde ich sagen ist der x-wert? also zwischen -7 und 0 ? und g...müsste ja eig das u zwischen A und B sein oder? aber wie drück ich das aus? |
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| 01.05.2007, 10:36 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau...und den x-Wert nennen wir wegen der Aufgabenstellung mal u Und weil dieses u ja wischen -7 und 0 liegt, also negativ ist, muss man da noch etwas ergänzen 
Du meinst vielleicht das Richtige....es ist die Strecke, also die Entfernung zwischen A und B gemeint. Wichtig ist hier allerdings, dass es um die y-Werte geht...also kann man quasi die Strecke AB durch eine Differenz der Funktionswerte von f und g ausdrücken ---> Vorzeichen beachten 
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| 01.05.2007, 10:48 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay..ich versuch es mal.. die differenz ist doch einfach f(x) + g(x) oder? also d(x) = ? |
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| 01.05.2007, 10:52 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt hast du ja addiert 
Wir haben es hier ja ausschließlich mit negativen Funktionswerten zu tun, weil die Graphen ja zwischen -7 und 0 unterhalb der x-AChse verlaufen. Jetzt musst du dir mal überlegen welchen y-Wert man von welchem abziehen muss, damit etwas POSITIVES rauskommt, denn die Grundseite muss auch ein positiver Wert sein, da es keine negativen Seitenlängen gibt. Achja....und statt d(x) bilde immer d(u), denn es geht jetzt ja speziell um die Stelle x=u
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| 01.05.2007, 11:01 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
achsoo..denn vllt die y-werte der beiden extrempunkte? also -4 - (- 49/8 ) = 17/8 so? also d(u) = 17/8 ? |
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| 01.05.2007, 11:03 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, schon ganz allgemein wie du es oben auch versucht hattest. Bilde f(u)-g(u)=d(u) |
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| 01.05.2007, 11:06 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mh okay.. dann ist d(u)= so ? |
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| 01.05.2007, 11:07 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oh und denn für alle x u einsetzen eig ?
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| 01.05.2007, 11:08 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau
Ist dir klar warum man nicht g(u)-f(u) benutzen kann ? |
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| 01.05.2007, 11:11 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nicht genau nee...vllt weil f(x) eine funktion höheren grades ist als g(x) ? ich weiß es nicht.. |
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| 01.05.2007, 11:15 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein mit dem "höheren Grad" hat das nichts zu tun. Aber wenn man es andersrum macht, also g(u)-f(u) nimmt, erhält man immer negative Werte und die Grundseite soll ja eine positive Seitenlänge haben. Kannst es ja mal mit ein paar Werten testen. z.B. g(-2)-f(-2) verglichen mit f(-2)-g(-2) Achja...ist dir klar wo wir jetzt unsere Haupt und Nebenbedingungen haben ? |
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| 01.05.2007, 11:18 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
achso ja stimmt... mh..nee..vllt ist die eine bedingung der flächeninhalt des Dreiecks? aber sonst keine ahnung
die differenz der funktionswerte vllt? |
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| 01.05.2007, 11:23 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist deine Hauptbedingung, denn es geht ja hauptsächlich darum einen Dreicksflächeninhalt zu maximieren, also rauszufinden für welche Seitenlänge er am größten wird. In dieser Hauptbedingung schwirren ja jetzt noch zwei Unbekannte g und h herum. Durch entsprechende Nebenbedingungen, also g=-u und h=f(u)-g(u) haben wir diese nun auch durch genau EINE Unbekannte ausgedrückt, nämlich durch u. Nun kannst du deine Hauptbedingung als Zielfunktion A(u) ausdrücken. Was erhälst du also durch Einsetzen der Nebenbedingungen? |
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| 01.05.2007, 11:27 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ah okay..ich erhalte : A(u)= |
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| 01.05.2007, 11:30 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Denk an die Klammer: Und jetzt noch ausmultiplizieren
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| 01.05.2007, 11:47 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oh stimmt..
also |
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| 01.05.2007, 11:52 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar....prima
Weisst du jetzt wie es weiter geht ? Stichwort maximaler Flächeninhalt |
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| 01.05.2007, 12:01 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ne leider nicht
oder hat das jetzt etwas mit den extrempunkten zu tun? |
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| 01.05.2007, 12:05 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja genau, denn bei Extremwertaufgaben geht es immer darum sich erstmal seine Zielfunktion in Abhängigkeit einer Unbekannten herzuleiten (das haben wir jetzt) und im Anschluss Extrempunkte bzw maximale Funktionswerte herauszufinden. Versuche das mal hier und achte auch darauf für welches u überhaupt ein Maximum entstehen kann. |
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| 01.05.2007, 12:16 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ich hab jetzt einmal -4 eingesetzt..das gibt denn 4 und bei 3.5 ist es ca. 25,313 aber was mach ich jetzt? |
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| 01.05.2007, 12:21 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1) Welche Extremstellen hattest du denn insgesamt raus ? 2) Und an welchen liegt ein Hochpunkt vor ? 3) Warum hast du u=3,5 eingesetzt ? |
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| 01.05.2007, 12:23 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ich hatte raus : HP von f(x) = (-4/-4) und von g(x) = (7/2 / -6,1) deswegen hab ich das u eingesetzt.. |
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| 01.05.2007, 12:24 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du musst aber doch die Extremstellen von A(u) berechnen, nicht von f(u) bzw g(u). |
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| 01.05.2007, 12:29 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
achso..oh... dann hab ich u1= 0 u2=-4 u3= -8 raus? |
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| 01.05.2007, 12:32 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau
Und jetzt kannst du ja schonmal etwas ausschließen, weil ja u laut Aufgabenstellung zwischen -7 und 0 liegen muss. Und mit der 2. Ableitung kannst du jetzt noch prüfen wo ein Hochpunkt vorliegt. Am Ende musst du dann noch die Ränder der Defintionsmenge überprüfen also A(0) und A(-7) ausrechnen und dann vergleichen wo der größte Flächeninhalt rauskommt. Gruß Björn |
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| 01.05.2007, 12:37 | Louisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay dann kommt bei -4 36 raus und das ist am größten! also muss u= -4 gewählt werden..
vielen dank
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| 01.05.2007, 12:40 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
u= - 4 stimmt zwar, aber das Maximum nicht....du solltest auf A(-4)=4 kommen Zum Nachvollziehen mal die Funktion A(u): Gern geschehen 
Gruß Björn |
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