ich komm nicht drauf

22.12.2004, 23:28

aiwa

ich komm nicht drauf

Hallo, ich sitze hier vor der aufgabe
Sei V ein Vektorraum, Seien U und W sind Unterräume von V. Zeige: Genau dann ist $\begin{eqnarray*} U\bigcup W \end{eqnarray*}$ ein Unterraum, wenn gilt U ist Teilmenge von W, oder W ist Teilmenge von U.
Die Rückrichtung, das wenn die Vereinigung der beiden Mengen ein Unterraum ist, dass diese dann Teilmengen sind.

Ich komme aber nicht das die Vereinigung von U und W ein Unterraum ist.
Angeblich soll diese Richtung trivial sein, ich weiß aber einfach nicht was ich zeigen soll.
Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte.

22.12.2004, 23:38

bier

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RE: ich komm nicht drauf

Zitat:

Original von aiwa
Hallo, ich sitze hier vor der aufgabe
Sei V ein Vektorraum, Seien U und W sind Unterräume von V. Zeige: Genau dann ist $\begin{eqnarray*} U\bigcup W \end{eqnarray*}$ ein Unterraum, wenn gilt U ist Teilmenge von W, oder W ist Teilmenge von U.
Die Rückrichtung, das wenn die Vereinigung der beiden Mengen ein Unterraum ist, dass diese dann Teilmengen sind.

Ich komme aber nicht das die Vereinigung von U und W ein Unterraum ist.
Angeblich soll diese Richtung trivial sein, ich weiß aber einfach nicht was ich zeigen soll.
Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte.

Also Du möchtest zeigen:

$\begin{eqnarray*} U\bigcup W\ ist\ Unterraum\ \leftrightarrow U \subseteq W\ oder\ W \subseteq U \end{eqnarray*}$

Zur Rückrichtung. Wenn U eine Teilmenge von W ist, dann ist U vereinigt W nichts anderes als W. Und W ist ja nach Vorraussetzung bereits Unterraum. So ich hoffe ich erzähl keinen Müll, und vor allem hoff ich , dass ich dich richtig verstanden hab, war nicht ganz einfach.

23.12.2004, 00:10

aiwa

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RE: ich komm nicht drauf
Ich weiß, die Formulierung der Frage war nicht ganz so toll aber ich glaube du hast mich richtig verstanden.
Also, wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe ist die vereinigung zweier Teilmengen wieder die Menge selbst. Da hätte man auch selbst drauf kommen können. Schönen Dank

23.12.2004, 18:34

JochenX

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Zitat:

Also, wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe ist die vereinigung zweier Teilmengen wieder die Menge selbst.

im allgemeinen nicht: aber wenn du eine menge mit einer teilmenge von ihr vereinigst, dann kommt wieder die menge selbst raus (mach dir das an einem bild einfach mal klar).
also folgt aus UcW, das U vereinigt W eben W ist, da W ein Untervektorraum ist, ist auch U"vereinigt"W=W einer...
analog, wenn WcU...

hast die andere richtung?

mfg jochen

28.12.2004, 00:03

Tobias

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Du musst zeigen:

$\begin{eqnarray*} U \cup W \leq V \iff U \subseteq W \text{ oder } W \subseteq U \end{eqnarray*}$

Die "<=" Richtung ist nach Jochens Hinweis tatsächlich schaffbar.

Für "=>" gebe ich dir den spätweihnachtlichen Hinweis, es indirekt mit Widerspruch zu versuchen:

$\begin{eqnarray*} U \not\subseteq W \text{ und } W \not\subseteq U \quad \Rightarrow \quad U \cup W \not\leq V \end{eqnarray*}$

Hierfür nimmst du als gegeben hin, dass ein x aus U existiert, dass nicht in W zu finden ist und ein y aus W existiert, dass kein Element von U ist.

Versuch herauszufinden, warum $\begin{eqnarray*} x+y \notin U \cup W \end{eqnarray*}$ gilt.

Guten Rutsch

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