Weihnachtsübung

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Gast Auf diesen Beitrag antworten »
Weihnachtsübung
Hallo,
kann mir jemand helfen



Bestimmen Sie die Stelle x0 , an der die Schaubilder beider Funktionen den minimalen Abstand besitzen.
Bestimmen Sie diesen Abstand.
Ganz allgemein für f(x) und g(x)

Einige Hinweise zur Vorgehensweise:

a) befassen Sie sich zunächst mit dem Begriff „Abstand“ und übertragen Sie Ihre Erkenntnisse
auf die vorliegende Aufgabenstellung.

b) überlegen Sie, welche Voraussetzungen die beiden Funktionen erfüllen müssen, damit die
von Ihnen angestrebte Lösung möglich wird.

c) vor diesem Hintergrund realisieren Sie Ihre Lösung.

d) sollten Sie einen Ansatz präferieren, der keine analytisch geschlossene Lösung erwarten
lässt, so erzeugen Sie eine numerische Lösung.

e) fertigen Sie Ihre Arbeit in schriftlicher und „abgebbarer“ Form an.

f) Greifen Sie bei allem auf Literatur zurück ( hier z.B. die Hauptsätze der
Differentialrechnung et c. )

Ich habe keinen Plan
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Interessante Aufgabe.

Früher haben wir das angenähert gelöst, wenn die Graphen der Funktionen auf Papier gegeben oder darstellbar waren:

Mit dem Zirkel Kreise zwischen den Graphen geschlagen, wobei der Kreis die Graphen gerade berühren durfte, und damit die engste Stelle gefunden, wenn der Kreis am kleinsten war.

Kann man daraus jetzt auch zusätzlich zu Abstand=Minimum an der engsten Stelle Schlüsse für die Steigungen dort ziehen ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Weihnachtsübung
Die Frage ist erstmal, wie der Abstand gemessen wird:
1. Möglichkeit: Differenz der Funktionswerte an einer Stelle x0
2. Möglichkeit: Abstand der Punkte (x0; f(x0)) und (x1; g(x1))
Ich bin mir jetzt nicht sicher, was in der Aufgabe gemeint ist.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Am schwierigsten ist es wohl, wenn die 'engste Stelle' zwischen den Graphen gesucht wird, vorausgesetzt es gibt eine 'engste Stelle':

Mit P1(x1;y1) auf f(x) und P2(x2;y2) auf g(x) gilt ganz allgemein:

d^2 = (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 , und das soll ein Minimum sein

Dann hatte ich vermutet, dass die Steigung der Graphen an der 'ensten Stelle' gleich ist, z.B. m (darüber muss ich aber noch weiter nachdenken!).

Dann würde gelten: m = f'(x1) = g'(x2)

Das wären jetzt 6 Unbekannte (x1,y1,x2,y2,m,d)

Bekannt wären die Beziehungen: y1=f(x1), y2=g(x2), für d^2, m=f'(x1), m=g'(x2), das sind bisher nur 5.
Ach ja, dazu kommt noch die Beziehung für d^2=Minimum.
6 Beziehungen für 6 Unbekannte, die Aufgabe sollte also lösbar sein.

Aber: bei dieser Lösung gehe ich davon aus, dass die Steigungen in den Berührungspunkten gleich sind. Gibt es dafür einen mathematischen Beweis? Für mich ist das anschaulich eigentlich klar, von Ecken, Spitzen und anderen fiesen Unstetigkeiten bei den Graphen einmal abgesehen.

EDIT: Schreibfehler korrigiert
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von etzwane
Aber: bei dieser Lösung gehe ich davon aus, dass die Steigungen in den Berührungspunkten gleich sind. Gibt es dafür einen mathematischen Beweis? Für mich ist das anschaulich eigentlich klar, von Ecken, Spitzen und anderen fiesen Unstetigkeiten bei den Graphen einmal abgesehen.

Wenn beide Funktionen auf ganz R differenzierbar sind und sich nicht schneiden (Trivialfall mit Abstand 0), dann dürfte diese Aussage richtig sein.

Ist das nicht erfüllt, dann sind natürlich auch andere Konstellationen denkbar, Beispiel: f(x)=0, g(x)=1+|x|

Mit deinem letzten Satz hast du natürlich schon einige der Probleme erahnt. Augenzwinkern
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem lässt mich nicht los.

Ich habe mal in
http://www.matheboard.de/plotter.php?f=4...-10&x=-3%3A3&y=
zwei Parabeln konstruiert mit einer 'engsten Stelle' zwischen ihnen.

Jetzt denke ich mir zwischen der roten und grünen Parabel Kreise eingezeichnet, die zur engsten Stelle hin immer kleiner werden, und danach wieder größer. An der engsten Stelle müsste dann ja auch der Durchmesser des kleinsten Kreises senkrecht auf den beiden Parabeln stehen, und somit die Parabeln dort die gleiche Steigung haben.

Ich gehe also bis auf weiteres davon aus, dass bei so 'vernünftigen' Graphen wie in diesem Beispiel die Annahme gleicher Steigungen an der engsten Stelle stimmt.
 
 
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

die Annahme mit f'(x1)=g'(x2) ist richtig. Das kann man folgendermassen zeigen:
Sei d das Quadrat des Abstandes der Punkte (x1, f(x1) ) und (x2, g(x2) ) , also eine Fkt von 2 Veränderlichen. (das Quadrieren nur damit das Ableiten später einfacher ist, ändert nichts am Ergebnis)
d(x1,x2) = (x1-x2)² + (f(x1)-g(x2) )²

Wenn d ein Minimum einnimmt, ist die Ableitung in x1 und in x2 Richtung = 0
Also diese Fktn nehmen, nach x1 und x2 Ableiten und jeweils 0 setzen (*).
Wenn man diese beiden Gleichungen addiert, bekommt man:

( f(x1)-g(x2) ) * ( f'(x1)-g'(x2) ) = 0

also entweder sind die Funktionswerte gleich under die Ableitungen.
Das klappt natürlich nur wenn f und g stetig und differenzierbar sind.

Um das Minimum zu finden, kann man auch direkt das Gleichungssystem (*) nach den Variablen x1 und x2 auflösen, wenn die Funktionen f und g hinreichend 'nett' sind, das das geht, kriegt man da alle Paare von interessanten (x1, x2) und muss nur noch probieren wo das globale Minima liegt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Weihnachtsübung
Zitat:
Original von Gast
Bestimmen Sie die Stelle x0 , an der die Schaubilder beider Funktionen den minimalen Abstand besitzen.

Ich möchte die Diskussion auf die ursprüngliche Aufgabe führen. Da ist "die Stelle x0" gesucht. Es ist nicht von einem Paar (x0, x1) die Rede. Möglicherweise ist also nur die Stelle x0 mit |f(x0) - g(x0)| ist minimal gesucht. Um den Betragsstrichen zu entgehen könnte man auch das Minimum von (f(x) - g(x))² bestimmen.

Zitat:
Original von quarague
d(x1,x2) = (x1-x2)² + (f(x1)-g(x2) )²

Sollte es nicht: (d(x1,x2))² = (x1-x2)² + (f(x1)-g(x2) )² heißen?
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von quarague
Wenn d ein Minimum einnimmt, ist die Ableitung in x1 und in x2 Richtung = 0
Also diese Fktn nehmen, nach x1 und x2 Ableiten und jeweils 0 setzen (*).

Genau, diese Überlegungen sind der Schlüssel, und die daraus folgenden Gleichungen ermöglichen auch eine schöne symmetrische Darstellung der zu lösenden Gleichungen zu diesem Problen.

Und diese Gleichungen lassen sich auch geometrisch interpretieren:
sei m1 die Steigung f'(x1) von f(x) in x1
sei m2 die Steigung g'(x2) von g(x) in x2
sei m0 die Steigung der Verbindungsgerade zwischen (x1;f(x1)) und (x2;g(x2)) mit m0 = (f(x1) - g(x2))/(x1-x2)

Dann gilt m0*m1 = -1 und m0*m2 = -1 , d.h. die Verbindungsgerade steht senkrecht auf den Tangenten in den Berührungspunkten.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Weihnachtsübung
Zitat:
Original von klarsoweit
Ich möchte die Diskussion auf die ursprüngliche Aufgabe führen. Da ist "die Stelle x0" gesucht. Es ist nicht von einem Paar (x0, x1) die Rede. Möglicherweise ist also nur die Stelle x0 mit |f(x0) - g(x0)| ist minimal gesucht. Um den Betragsstrichen zu entgehen könnte man auch das Minimum von (f(x) - g(x))² bestimmen.


Dann wäre doch die Aufgabe irgendwie langweilig gewesen ...

Aber es ist schon richtig, nur der Text der Aufgabenstellung zählt.
Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

meine überlegung wäre:
die grapahen haben einen abstand in x und einen in y richtung
ich würde die graphen einmal betragsmäßig in x und in y richtung (nach x bzw y die gleichungen auflösen) von einander abziehen
dann würde ich den abstand mit abstand_x^2 + abstand_y^2=abstand^2 berechnen
dort würde ich dann eine betragsmäßige minimum berechung durchführen

edit
mit steigung gleich setzten und mininum ausrechenen geht das ganze natürlich viel einfacher
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir leid, aber ich habe es immer noch nicht verstanden. Ich weiß nicht wie ich anfangen soll.
Ich brauche einen Ansatz oder eine Idee mit dem ich die Aufgabe allgemein lösen kann.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Als erstes ist meiner Meinung nach zu klären, was unter "Abstand" zu verstehen ist. Siehe dazu den Beitrag ganz oben von @klarsoweit.

Gibt es eine Skizze zu der Aufgabe ?
Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

a) befassen Sie sich zunächst mit dem Begriff „Abstand“ und übertragen Sie Ihre Erkenntnisse

kürzester weg zwischen 2 punkten
kürzester weg zwischen einer linie und einem punkt (rechter winkel zwischen verbindungsline von punkt und punkt auf der line zu linie im punkt)
kürzester weg zwischen linie und line rechter winkel auf beiden linien
-> gleiche steigung in der linien in den dazugehörigen pukten

b) überlegen Sie, welche Voraussetzungen die beiden Funktionen erfüllen müssen, damit die

- abschnitsweise differnzierbar
- nicht scheiden sonst abstand 0

c) vor diesem Hintergrund realisieren Sie Ihre Lösung.

f(x1)'=g(x2)' --> dann das ergebnis differenzeiren und 0 setzen so bekommst man den kürzesten weg

d) sollten Sie einen Ansatz präferieren, der keine analytisch geschlossene Lösung erwarten

präferieren???? <- was soll das bedeuten?

e) fertigen Sie Ihre Arbeit in schriftlicher und „abgebbarer“ Form an.

...

f) Greifen Sie bei allem auf Literatur zurück ( hier z.B. die Hauptsätze der

...
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

@Bloodman

Zu a) kürzester weg zwischen linie und line rechter winkel auf beiden linien -> gleiche steigung in der linien in den dazugehörigen pukten
Zu c) f(x1)'=g(x2)' --> dann das ergebnis differenzieren und 0 setzen

Eine Frage: Ist dies wirklich so selbstverständlich wie das da steht, denn ich habe dies zuerst nur vermutet aufgrund meiner Vorgehensweise zur Lösung der Aufgabe.

Ich meine damit: Kann ich in Zukunft argumentieren, die beiden Kurven haben an der engsten Stelle die gleiche Steigung und die Verbindungslinie zwischen den entsprechenden Punkten steht senkrecht auf den Tangenten dort an den Kurven, und jeder muss das unbewiesen akzeptieren?

Zu d) präferieren = bevorzugen
dürfte wohl der Regelfall sein, sobald trigonometrische, logarithmische oder Exponentialfunktionen beteiligt sind.

Und es bleibt immer noch die Frage: Kleinsten 'vertikalen' oder 'engsten' Abstand.
"Bestimmen Sie die Stelle x0 , an der die Schaubilder beider Funktionen den minimalen Abstand besitzen. Bestimmen Sie diesen Abstand. Ganz allgemein für f(x) und g(x)"
Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

das mit dem rechten winkel kannst du immer verwenden
wenn die steigung der einen "kurve" höher/niedriger ist kommt kommt sie näher ab die andere kurve heran/geht weiter weg (am leichtesten an 2 geraden zu verfolgen die unterschiedliche steigung haben)
wenn die steigung gleich ist heißt das aber noch lange nicht das das dort dann das minimum des abstandes ist
2 allgemeine kurven haben unendlich viele gleiche steigungen
diese sich ergebene gleichung muss differenziert werden und 0 gesetzt werden (minimumberechnng)
The Hawk Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe....FH Bocholt und Wollhöver ruuulllezzz...


Nee mal im Ernst bin auch noch net weiter....Ist halt die typische Weihnachtsaufgabe vom Prof. Wollhöver


Bin mal gespannt ob das welche im Jannuar raus haben.


Aber auch dank an alle, die sich so bemühen...


Cya The Hawk
Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bloodman
a) befassen Sie sich zunächst mit dem Begriff „Abstand“ und übertragen Sie Ihre Erkenntnisse

kürzester weg zwischen 2 punkten
kürzester weg zwischen einer linie und einem punkt (rechter winkel zwischen verbindungsline von punkt und punkt auf der line zu linie im punkt)
kürzester weg zwischen linie und line rechter winkel auf beiden linien
-> gleiche steigung in der linien in den dazugehörigen pukten

b) überlegen Sie, welche Voraussetzungen die beiden Funktionen erfüllen müssen, damit die

- abschnitsweise differnzierbar
- nicht scheiden sonst abstand 0

c) vor diesem Hintergrund realisieren Sie Ihre Lösung.

f(x1)'=g(x2)' --> dann das ergebnis differenzeiren und 0 setzen so bekommst man den kürzesten weg

d) sollten Sie einen Ansatz präferieren, der keine analytisch geschlossene Lösung erwarten

präferieren???? <- was soll das bedeuten?

e) fertigen Sie Ihre Arbeit in schriftlicher und „abgebbarer“ Form an.

...

f) Greifen Sie bei allem auf Literatur zurück ( hier z.B. die Hauptsätze der

...


Zitat:
meine überlegung wäre:
die grapahen haben einen abstand in x und einen in y richtung
ich würde die graphen einmal betragsmäßig in x und in y richtung (nach x bzw y die gleichungen auflösen) von einander abziehen
dann würde ich den abstand mit abstand_x^2 + abstand_y^2=abstand^2 berechnen
dort würde ich dann eine betragsmäßige minimum berechung durchführen


wenn keiner will mach ich halt

(f(x1)-g(x2))^2+(x1-x2)^2 = abstand^2


abstand=(f(x1)-g(x2))^2+(x1-x2)^2 )^0,5
3 dimiensionale fläche mit minimum:

differenzieren nach x1 und = 0 setzen dann ausrechen (f'x1)
differenzieren nach x2 und = 0 setzen dann ausrechen (f'x2)
differenzieren von f'x1 nach x1 -> einsetzen der oben erhaltenden werte (müssen positiv sein)
differenzieren von f'x2 nach x2 -> einsetzen der oben erhaltenden werte (müssen positiv sein)
differenzieren von f'x2 nach x1 oder f'x1 nach x2 -> einsetzen der oben erhaltenden werte (müssen ungleich 0 sein)

bei dem positiv/negativ oder ungleich 0 bin ich mir nicht ganz sicher das ist schon so lange her
aber so funzte es und man bekommt die lösung
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