Hüllkurven - Seite 2 |
| 01.01.2005, 21:23 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann das sein, dass dabei eine jetzt benötigte Skizze verloren gegangen ist ? |
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| 01.01.2005, 21:45 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meine Überlegungen bisher zu den Spiegelungen in einem Glaszylinder: Dabei ergibt sich alpha aus ys, beta aus alpha und m aus beta. Damit sollte sich die Gleichung der reflektierten Geraden aufstellen lassen. |
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| 01.01.2005, 21:59 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, tut mir sehr leid 
Aber ich denk mal, die muss ja noch irgendwo gespeichert sein, sodass es hoffentlich nich so schlimm ist
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| 02.01.2005, 14:16 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
gut also ich hab diese datei nochmals hochgeladen in der hoffnung dass ich das versteh wenn ich dieses bild betrachte steh ich aufem schlauch ;-) |
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| 02.01.2005, 15:49 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso ? Von rechts fallen parallele Lichtstrahlen auf das Innere eines Zylinders (von dem man hier den Kreis als Querschnittsfläche sieht). Diese Lichtstrahlen werden an der Innenseite so reflektiert (gespiegelt), dass Einfallswinkel alpha gleich Ausfallswinkel alpha des reflektierten Lichtstrahles ist, siehe dazu auch meine Skizze weiter oben. Zusätzlich ist beim zweiten Lichtstrahl von oben ein Radius eingezeichnet, an dem man die Gleichheit der Winkel nachmessen kann. Werden nun viele parallele Lichtstrahlen gezeichnet, wie in der Fig. 2, so bildet sich eine Hüllkurve aus, die du irgendwie beschreiben sollst. Du kannst diese Spiegelungen auch sehen, wenn du in ein Glas mit flachem Boden etwas Wasser einfüllst und schräg von außen und oben mit einer Taschenlampe hinein leuchtest. |
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| 02.01.2005, 15:52 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay dann is das ja klar puhh was will ich denn jetzt noch wissen hoff ihr oder du hast noch nerven dazu... hierzu wurde ja schonmal ein beitrag erstellt aber das reihcte mir nciht aus edit: Doppelpost zusammengefügt, jetzt müsste es aber geklappt haben ... (MSS) |
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| 02.01.2005, 16:45 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
OK, dann erstmals meine Fragen: 1) Wie lang ist das Garagentor ? 2) Wieviel "Stationen" des Garagentors sind dargestellt ? 3) Was sind die Winkel, unter denen das Garagentor geneigt ist bei diesen "Stationen" ? 4) Was sind die Koordinaten der Endpunkte des Garagentores bei diesen "Stationen" ? 5) Hast du schon die Gleichung der Geradenschar bestimmt ? 6) Hast du schon ein maßstäbliches Bild gezeichnet ? |
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| 02.01.2005, 16:53 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ich ahb da für gar keine angaben aber könntest du es auch ohne werte beschreiben hier wurde ja auch die geradenschar angegeben scheint sich um das selbe thema zu handeln http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=2145 |
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| 02.01.2005, 16:56 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@chrissi sei doch so lieb, schau auf da Bild und beantworte meine Fragen, so gut du kannst. |
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| 02.01.2005, 19:12 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oke.... 1) die Länge müsste dann 4 meter sein 2)6 Stationen sind dargestellt mit der senkrechten udn waagrechten sind es dann 8 stationen 3)von station zu station immer 11°C 4)endpunkte: E1(0|x) E2(x|0) 5) Gleichung der Geradenschar: g(x,t) = ( ((4²-t²)^(1/2)) /t) * x + 4 - (4²-t²)^(1/2) 6) maßstäbliches bild hab ich noch nicht hier die gleichung nochmal ordentlicher edit. Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS) |
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| 02.01.2005, 19:42 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei 3) hast du dich verschrieben, denn 90° geteilt durch 6 Stationen = 15° pro Station (und natürlich keine °C, sonder Winkel-°). Die Aufgabe zu 4. heißt: Bestimmen Sie die Gleichungen für die Geradenschar, die die "Stationen" darstellt. Das wollen wir jetzt einmal machen. 1) Durch die Endpunkte des Garagentors werden Abschnitte x0 und y0 auf den Koordinatenachsen abgeschnitten, wie heißt die Gleichung dafür ? 2) Jetzt musst du festlegen, in welche Richtung die positive X-Achse (nach links oder rechts) und die positive Y-Achse (nach oben oder nach unten) zeigen sollen. Ich schlage vor, so wie in der Schulmathematik, man muss später auf jeden Fall mit den Vorzeichen aufpassen. 3) Welche Steigung hat die Verbindungsgerade zwischen P1(x0|0) und P2(0|y0) ? 4) Was ergibt sich für die Gleichung der Verbindungsgeraden zwischen P1 und P2 ? Sollten Fragen sein, frag ruhig, ich schau zwischendurch immer mal rein. |
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| 02.01.2005, 19:51 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja das mit den 15 is klar ..vertippt 1) Durch die Endpunkte des Garagentors werden Abschnitte x0 und y0 auf den Koordinatenachsen abgeschnitten, wie heißt die Gleichung dafür ? <-- das mit den endpunkten musst mir mal erklären also klar ist dass entweder x oder y null sien muss, aber wie soll ich daraus eine gleichung erstellen , soll die allgemein gehalten werden? das dann praktisch für jede station gilt? das mit den achsen is klar 3) Welche Steigung hat die Verbindungsgerade zwischen P1(x0|0) und P2(0|y0) ? <--- wie berechnet man die steigung mit hilfe des winkels? 4) Was ergibt sich für die Gleichung der Verbindungsgeraden zwischen P1 und P2 ? <-- und do komm ich auch net weiter |
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| 02.01.2005, 19:57 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu 1) Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor mit x0 und y0 auf den Achsen, das Garagentor ist 4 m lang. Was für eine Gleichung fällt dir ein ? |
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| 02.01.2005, 20:07 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmmm also mit satz des pythagoras |
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| 02.01.2005, 20:09 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, schreib den mal hin mit x0 und y0 und 4 |
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| 02.01.2005, 20:18 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
x0^2+y0^2=4 x0^2+y0^2=16 so is besser edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion!! (MSS) |
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| 02.01.2005, 20:27 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
gut, diese Gleichung wird später benötigt, um eine der Variablen x0 ode y0 zu eliminieren. Zu 3) Jetzt geht die gesuchte Verbindungsgerade durch die Punkte P1(x0|0) und P2(0|y0). Welche Steigung m hat diese, bzw. welchen 'Winkel' m=tan(alfa) hat diese Gerade zur positiven X-Achse ? Denk einfach an das rechtwinklige Dreieck mit x0, y0 und L=4. Diesen Wert benötigen wir, um die Gleichung der Geraden aufstellen zu können. |
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| 02.01.2005, 20:35 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
m= y2-y1/x2-x1 wird damit gerechnet?? |
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| 02.01.2005, 20:37 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, und diesem m muss aus x0 unf y0 ermittelt werden |
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| 02.01.2005, 20:43 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also: m= y02-y01/x02-x01 |
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| 02.01.2005, 20:51 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nicht ganz, oder ja doch. Nur jetzt musst du die entsprechenden Werte aus P1(x0|0) und P2(0|y0) einsetzen. Du musst also x01,y01 und x02,y02 in deiner Gleichung den P1 und P2 entsprechend zuordnen. Und dann setze doch bitte Klammern, so wie z.B. in (y2-y1)/(x2-x1) |
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| 02.01.2005, 21:37 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
m= (y02-0)/(0-x01) |
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| 02.01.2005, 21:52 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
beinahe, ich meinte eigentlich m = -y0/x0 mit den Werten x0 und y0 für die Abschnitte auf den Achsen, vielleicht vergleichst du nochmal. 4) Und jetzt versuche die Gleichung für die Gerade durch einen der beiden Punkte P1(x0|0) oder P2(0|y0) mit der soeben ermittelten Steigung m bestimmen. Ich denke, du kennst du die entsprechende Bestimmungsgleichung ? |
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| 02.01.2005, 22:12 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ohje das klingt alles wie spanisch das is ja schrecklich beinahe, ich meinte eigentlich m = -y0/x0 mit den Werten x0 und y0 für die Abschnitte auf den Achsen, vielleicht vergleichst du nochmal. <-- das versteh ich nciht wie es gemeint ist 4) Und jetzt versuche die Gleichung für die Gerade durch einen der beiden Punkte P1(x0|0) oder P2(0|y0) mit der soeben ermittelten Steigung m bestimmen. Ich denke, du kennst du die entsprechende Bestimmungsgleichung ? <-- und diese kenn ich glaub ich nciht also ich wieß zumindest nciht was ich hier tun müsste edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion (MSS) |
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| 02.01.2005, 22:19 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Deine Lösung war: m= (y02-0)/(0-x01) Deine Lösung sollte sein: m = -y0/x0 , also y0 von P2(0|y0) anstelle von y02, und ebenso bei x0. Warum: weil x0 und y0 schon bekannt sind.
Diese Gleichung solltest du kennen, sie steht in jeder Formelsammlung, wurde hier auch weiter oben von mir verwendet. Die Gleichung lautet: y-y1=m*(x-x1) oder y-y2=m*(x-x2) Jetzt brauchst du nur noch die schon ermittelten Werte für die Steigung und einen der Punkt einzusetzen, so einfach ist das. |
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| 02.01.2005, 22:41 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
y-y1= (-y0/x0) *(x-x1) und hier kommt jetzt das mit P2(0|y0) dazu also: y-y0= (-y0/x0) *(x-0) |
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| 03.01.2005, 15:15 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oder wie mach ich das mit dem punkt ?? .. noch ein bild das ist fortfahrend zu 7.jpg edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS) |
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| 03.01.2005, 20:23 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, und das ist ja y = y0 -(y0/x0)*x , wenn man die überflüssige 0 weglässt. Und jetzt kann man aus der früher ermittelten Gleichung x0^2+y0^2=16 für die Endpunkte des Garagentores (siehe oben) das y0 berechnen zu y0 = sqrt(16 - x0^2) und einsetzen in diese Gleichung der Geraden, so dass man erhält für die Gleichung der Geradenschar y = sqrt(16 - x0^2) - sqrt(16 - x0^2)/x0)*x. Jetzt schreiben wir mal etwas anders, um das folgende besser vergleichen zu können: f(x,t) anstelle von y t anstelle von x0 4² anstelle von 16 (.)^(1/2) anstelle von sqrt(.) so dass man für die Gleichung der Geradenschar erhält f(x,t) = sqrt(4²-t²) - sqrt(4²-t²)/t*x f(x,t) = (4²-t²)^(1/2) - (((4²-t²)^(1/2))/t)*x oder umsortiert f(x,t) = -(((4²-t²)^(1/2))/t)*x + (4²-t²)^(1/2) Wenn man dieses Ergebnis jetzt vergleicht mit der in dem anderen Link angeführten Gleichung für die Geradenschar g(x,t) = (((4²-t²)^(1/2)) /t) * x + 4 - (4²-t²)^(1/2), dann stellt man fest, dass das von uns ermittelte f(x,t) übereinstimmt mit -g(x,t) - 4, d.h. wir haben die eigentlich gegebene Gleichung der Geradenschar bis auf das Vorzeichen und einen konstanten Wert 4 ermittelt. Die Unterschiede in Vorzeichen und Wert beruhen auf der von uns vorgenommenen Wahl des Koordinaten-Nullpunkts und der Richtung der Koordinatenachsen, wir haben also bisher richtig gerechnet. Der nächste Schritt wäre jetzt, die Gleichung der Hüllkurve zu ermitteln, zumindest es zu versuchen. Melde dich, wenn du daran interessiert bist. EDIT: Tippfehler berichtigt |
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| 03.01.2005, 20:31 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
jap daran bin ich interessiert ;-) versuch die ganze zeit schon irgendwie solch kurven zu ermitel aber auch das internet gibt mir keine gescheiten bsp |
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| 03.01.2005, 20:55 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eigentlich braucht ihr das (nach eurem jetzigen Kenntnisstand, wie bei der Beschreibung der Aufgabe stand) noch nicht zu können. Aber um nicht raten zu müssen, was die Hüllkurve nun für eine Kurve ist, können wir trotzdem versuchen, eine analytische Lösung zu finden. Dazu habe ich in einer Formelsammlung sinngemäß folgende Lösung gefunden: ---------------------------- Es sei eine einparametrige Kurvenschar durch die Gleichung F(x,y,t) = 0 gegeben. Die Gleichung der Einhüllenden wird berechnet, indem der Parameter t aus dem folgenden Gleichungssystem eliminiert wird: F(x,y,t) = 0 und dF(x,y,t)/dt = 0, wobei x und y wie Konstante behandelt werden (partielle Ableitung). ----------------------------- Aus der zweiten Gleichung wird normalerweise das t bestimmt und in die erste Gleichung eingesetzt, und diese Gleichung nach y aufgelöst oder in solch eine geeignete Form gebracht, dass man erkennen kann, um welche Art von Hüllkurve es sich handelt (z.B. Gerade wie bei dem Flugzeug, Parabel wie in dem ersten Beispiel, usw.). Zur Bestimmung nehmen wir nicht die von uns ermittelte Gleichung der Geradenschar, sondern die in der Aufgabe gegebene g(x,t) = (((4²-t²)^(1/2)) /t) * x + 4 - (4²-t²)^(1/2). Mit y für g(x,t) erhalten wir für F(x,y,t): F(x,y,t) = (((4²-t²)^(1/2)) /t) * x + 4 - (4²-t²)^(1/2) -y Du kannst ja schon einmal versuchen, diese Gleichung nach t abzuleiten, wobei x und y wie Konstante zu behandeln sind. Dann setzt du F'(x,y,t)=0 und ermittelst einen Ausdruck für t = t(x,y). Wenn dies gehen sollte, kannst du das t in die Gleichung für F(x,y,t) einsetzten, das ist dann die gesuchte Gleichung der Hüllkurve. Die sich ergebenden Ausdrücke können durchaus unhandlich werden, fang einfach an mit der Rechnung, ich mache es auch so. |
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| 03.01.2005, 21:30 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
gg fast soweit hatte ichs 
aber das ganze hintergrundwssen von dir fehlt mir total .. hast du auch internetseiten zu diesen themen... 
hab hier auch noch was tolls gefunde.. edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion (MSS) |
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| 03.01.2005, 21:32 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, Internetseiten dazu kenne ich überhaupt nicht. Ich wüsste auch nicht, dass Probleme dieser Art irgendwo behandelt werden (bis auf das Beispiel mit dem Überschallflugzeug, aber meine Kenntnisse auf diesem Gebiet sind auch schon ein bißchen älter). Vielleicht liegt das daran, dass Aufgaben dieser Art zu sehr komplizierten und unübersichtlichen Gleichungen führen können, vor allem, wenn dann noch Ausdrücke unter Wurzeln dazukommen. Rechne das Beispiel einfach mal weiter durch, damit du siehst, was ich meine ...... Und schreib mal deine letzte Gleichung für x und t aus F'=0, wo du nicht mehr weiterkommst. EDIT: Folgendes ergänzt: Sobald wir das Problem mit dem Garagentor irgendwie abgeschlossen haben, können wir ja die neue Aufgabe angehen. Sie scheint auf den ersten Eindruck hin etwas leichter zu sein, mal sehen ... |
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| 03.01.2005, 23:17 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okey gut werde mich morgen dran setzten heute abend schaff ich das nimmer |
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| 04.01.2005, 10:41 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hier mein ergebinis der ableitung: F'(x,y,t)= dann Null setzten und t ermitteln: t in die Gleichung für F(x,y,t) eingesetzt ergibt: gesuchte Gleichung der Hüllkurve. so das wäre also mein ergebnis hierzu |
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| 04.01.2005, 16:59 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, das sieht ja schon ganz gut aus. Der Ausdruck für t ist richtig, aber die Gleichung der Hüllkurve sieht bei mit etwas anders aus. Vielleicht kannst du deine Rechnung bezüglich y nochmals wiederholen. Andrerseits kannst du auch x=t³/16 (ergibt sich aus der Gleichung für t) in die Gleichung für F(x,y,t) einsetzen und y als Funktion von t berechnen. Damit hat man x als Funktion von t sowie y als Funktion von t, so dass man nach Vorgabe von t die zugehörigen Wertepaare x,y ausrechnen könnte. Und evtl. kann man aus den beiden Ausdrücken für x und y auf einfachere Art und Weise die Gleichung der Hüllkurve bestimmen. |
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| 04.01.2005, 17:47 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, so dann kommt bei mir das raus wenn ich in F(x,y,t) den wert für x einsetzte stimmt das und wenn ja wie gehts dann genauer weiter? Der Ausdruck für t ist richtig, aber die Gleichung der Hüllkurve sieht bei mit etwas anders aus. Vielleicht kannst du deine Rechnung bezüglich y nochmals wiederholen. du meinst er ist falsch ?? also ich habe es jetzt öfters durchgerechnet und wenn ich den wert von t in F(x,y,t) einsetzte dann komme ich immer wieder auf dies ergebnis nach y aufgelöst ergibt es: hoff du kannst es berichtigen was ich falsch gemacht habe edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion!!! (MSS) |
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| 04.01.2005, 19:00 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das habe ich auch raus, und das kann man jetzt umformen zu oder und Dieser Ausdruck wird jetzt verglichen mit dem gefundenen Ausdruck für oder oder auch Dieser Ausdruck für x passt nun wunderschön zu dem Ausdruck für y-4, denn addiert man beide Ausdrücke, so erhält man so dass man schließlich erhält für die Gleichung der Hüllkurve: und das ist die Gleichung einer so genannten Astroide: |
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| 04.01.2005, 22:39 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hi, bei deiner oberen rechnug komme ich nciht ganz mit kannst du mir grad sagen welche schritte dsas waren? also erster hast du die 1 in 16 umgewandelt und die nach y aufgelöst und die 4 nach vorne geholt schritt 2 hast du die klammer mit -1 mulipliziert dann wieder zusammengefasst und nun die vier rübergeholt aber aus welchem grund also woher weißt du dass man das amchen muss?? und dann eben den letzten schritt wusste ich auch net wieso weshalb man das so macht sonst hab ich das verstanden aber warum gerade mit dem ausdruck (y-4) und zuletzte ich habe den funktionsterm zeichnen lassen ist das dann eine hälfte der Astroide? danke für die hilfe |
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| 05.01.2005, 16:45 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, also die ersten 3 Schritte habe ich gemacht, weil ich nach längerem Probieren gesehen habe, dass man den Bruch und die Wurzel zusammenfassen kann. Dann habe ich weiter versucht, den Ausdruck zu vereinfachen, und dabei gesehen, dass mit 4 auf der Seite von y auf der rechten Seite ein Term überbleibt, der Ähnlichkeit hat mit dem Ausdruck für t bzw. x hat, hauptsächlich wegen der 16 im Nenner bei meiner Rechnung anstelle von 2^4. Und der Rest war ein bißchen probieren mit Potenzen auf beiden Seiten. Die 4 bei y ist übrigens darauf zurückzuführen, wie der Aufgabensteller bei der Ermittlung der Gleichung der Geradenschar den Koordinaten-Nullpunkt festgelegt hat. Ein Bild des Funktionstherms habe ich gerade nicht, aber ich könnte mit vorstellen, dass das untere linke Viertel der Grafik der Hüllkurve beim Garagentor entspricht. Wenn man wie jetzt die Lösung kennt, ist es auch ganz einfach, die Gleichung für die Hüllkurve direkt zu ermitteln. Es war ja (nach deiner Rechnung) und Formt man den Ausdruck für t etwas um nach und so folgt durch Einsetzten Hier kann man auf der rechten Seite den Bruch mit x vereinfachen zu x^(2/3). Die Wurzel entfernt man durch Quadrieren auf beiden Seiten, so dass man erhält Klammert man jetzt auf der rechten Seite bei der ersten Klammer den Faktor 16 aus, so erkennt man, dass die erste Klammer negativ zur zweiten Klammer ist, so dass man erhält Jetzt auf beiden Seiten die 3.Wurzel ziehen und rechts ausmultiplizieren und etwas umsortieren, gibt mit 16^(1/3)=4^(2/3) ebenfalls das Ergebnis Ich denke, damit könnte man diese Aufgabe abschließen. |
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| 05.01.2005, 17:02 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
und diese letzte ist dann die gleichung der hüllkurve also dann ist es mir verständlich habe die funktion gezeichnet und denke dass das gebilde dem eines aaragentors ähnlich kommt nun das neue thema ist ja praktisch alles schon erklärt...aber vllt könntest trotzdem noch was zu schreiben |
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