Hüllkurven - Seite 3

05.01.2005, 17:03

chrissi

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anschließend gleich die andere hälfte:

05.01.2005, 17:47

etzwane

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Also bei dieser Aufgabe denke ich, dass der Schreiber versucht zu erklären, dass man die Ableitung der Gleichung der Geradenschar nach dem Parameter gleich 0 setzen muss, um eine Bedingung für die Gleichung der Hüllkurve zu erhalten.

Ehrlich gesagt, ganz verstanden habe ich seine Argumentation nicht, aber das "Verfahren zur Bestimmung eines 'Hüllkurvenkandidaten'" haben wir schon bei der letzten Aufgabe mit dem Garagentor benutzt,
- indem wir die Ableitung der Gleichung der Geradenschar nach dem Parameter t gleich 0 gesetzt haben,
- daraus eine Beziehung zwischen t und x ermittelt haben,
- diese in die Gleichung der Geradenschar eingesetzt haben,
- und daraus die Gleichung der Hüllkurve ermittelt haben.

Die Methode lautet also:
Die Gleichung der Geradenschar y=g(x,t) ableiten nach dem Parameter t, die erhaltene Gleichung 0 setzen und daraus t als Funktion von x ermitteln, dieses Ergebnis in y=g(x,t) einsetzen, und daraus y=f(x) für die Hüllkurve ermitteln.

Zur Übung/Vertiefung solltest du einfach versuchen, das vorgegebene Beispiel mit der Geradenschar y = g(x,t) = (12t²-2)*x-16t³ nach dieser Methode zu lösen. Ist wirklich ganz einfach.

Und wenn du dann immer noch Lust hast: die Gleichung der Geradenschar aus dem ersten Beispiel war
$\begin{eqnarray*} gt(x)=(\frac{t-5}{5})*x+\frac{10*t-t^2}{5} \end{eqnarray*}$
Auch hier kannst du die bereits früher gefundene Lösung nach dieser Methode überprüfen.

05.01.2005, 19:02

chrissi

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klar danke für deine hilfe
großes lob ;-)
hoffe ich muss dich dann jetzt nicht weiter fragen ...

05.01.2005, 19:49

etzwane

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Ach, nichts zu danken. Ich hoffe, es hat ein bißchen was gebracht.

Ich fand die Aufgaben einfach reizvoll, weil ich mit solchen Aufgaben bisher nichts zu tun hatte.

Und frag ruhig weiter, es wird schon jemand aus dem Board hier antworten.

07.01.2005, 16:07

chrissi

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jo hier nochmal ne frage:
wir hab hier am anfang was bearbeitet

von bestimmen der steigung a in der scheitelform:

y= a*(x-w)^2+v

alle werte sind gegeben außer a wie konnte man das bestimmen??

07.01.2005, 18:12

chrissi

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und ganz wichtig wieso haben wir bei der einen aufgabe die gleichung
y=(t/5-1)*x+2*t-1/5*t^2

denn die gleichung der geradenschar hieß ja etwas anders:

gt(x)= ((t-5)/5)*x + (10*t-t^2)/t

oke sorry das letztere hat sich erledigt, hab mich nur verrechnet gehabt

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion (MSS)

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07.01.2005, 19:48

etzwane

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Du meinst wohl den Lösungsvorschlag im Beitrag von Leopold.

Zitat:

Original von Leopold
Mach dir zur besseren Vorstellung im Folgenden eine Skizze.

1. Eine der Tangenten muß die Parabel im Scheitel $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ berühren. Ihre Steigung ist 0. Daher kannst du aus
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \left( t-5 \right) = 0 \end{eqnarray*}$
den zugehörigen Parameterwert $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ bestimmen. Bestimme die zugehörige Geradengleichung. Ihr y-Wert muß zugleich der y-Wert von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ sein:
$\begin{eqnarray*} S \left( \text{???} \left| \; \text{bekannt}\right. \right) \end{eqnarray*}$

2. Als nächstes nimmst du zwei Tangenten, die bezüglich der Parabelsymmetrieachse symmetrisch liegen, deren Steigungen also Gegenzahlen voneinander sind, z.B. diejenigen mit den Steigungen 1 und -1. Wie oben kannst du die zugehörigen Parameterwerte $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ berechnen. Damit kannst du die Gleichungen für die beiden Tangenten aufstellen. Bestimme ihren Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ . Sein x-Wert muß mit dem x-Wert von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ übereinstimmen:
$\begin{eqnarray*} S \left( \text{bekannt} \left| \; \text{bekannt}\right. \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt fehlt in der Scheitelform der Parabel
$\begin{eqnarray*} y = a \cdot (x-u)^2+v \end{eqnarray*}$
nur noch das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Das könntest du dir folgendermaßen beschaffen.

3. Bei einer Parabel hat der Punkt, in dem eine Tangente die Parabel berührt, von der Scheiteltangenten denselben Abstand wie der Punkt, in dem die Tangente die Symmetrieachse der Parabel schneidet. Bestimme also den Abstand der Punktes $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ aus 2. von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . Gehe dann von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ aus diesen Abstand noch einmal nach oben. Der Wert, den du erhältst, ist der y-Wert der Punkte, in dem die Tangenten aus 2. die Parabel berühren. Berechne bei einer der beiden Tangenten den zugehörigen x-Wert. Das Paar $\begin{eqnarray*} (x|y) \end{eqnarray*}$ bestimmt jetzt einen Parabelpunkt. Durch Einsetzen in die Scheitelform kannst du das noch fehlende $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ berechnen.

Na gut, dann fang mal an mit 1.
Gegeben war die Gleichung der Geradenschar, davon ermittelst du ganz allgemein die Steigung der Geradenschar als Funktion von t.
Im Scheitel der Parabel muss die Steigung der Tangente =0 sein, daraus kannst du das entsprechende t berechnen.
Mit diesem t bestimmst du jetzt die Gleichung der zugehörigen Tangente aus den Gleichungen für die Geradenschar.
Wie Leopold schreibt, ist der y-Wert gleich dem y-Wert des Scheitels der Parabel. Jetzt musst du noch überlegen, welche der zu ermittelnden Variablen a, u und v diesem y-Wert entspricht.
Schreib mal dein Ergebnis für t, die Gleichung der Tangente und die bisher ermittelte Unbekannte und deren Wert, dann machen wir weiter.

07.01.2005, 21:29

chrissi

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ok,

Gegeben war die Gleichung der Geradenschar, davon ermittelst du ganz allgemein die Steigung der Geradenschar als Funktion von t.
Im Scheitel der Parabel muss die Steigung der Tangente =0 sein, daraus kannst du das entsprechende t berechnen.
also für t ergibt sich: t=5

Mit diesem t bestimmst du jetzt die Gleichung der zugehörigen Tangente aus den Gleichungen für die Geradenschar.
g5(x)=5

Scheitel kkommt bei mir S(0|5)
also:
y=a*(x-u)^2+v

nur hier bin ich mir nicht sicher was ich jetzt hier einsetzten soll für v und u
eigentlich ja den Scheitel oder?
und wenn das so ist dann:
y=a*(x-0)^2+5

jetzt würde nur noch das a fehlen und da hab ich nciht genau verstanden wie leopold das meinte mit verdoppelt usw
ich weiß nur dass eben diese 1/20 für a rauskommen müsste

07.01.2005, 22:13

chrissi

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was ich dann noch wissen wollt ist ein teil mit den spiegelungen im kreisrunden glas

ich habe versucht solch ein gebilde zu zeichnen

was muss ich da beachten?

gibt es eienn bestimmten winkel in dem der strahl reflektiert wird?

du meintest
alpha ergibt sich aus ys
und beta aus alpha
und m aus beta

und wie soll ich die daraus entstandene hüllkurve beschreiebn, wie könnte ich das machen?

07.01.2005, 22:28

etzwane

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Zitat:

Original von chrissi
Scheitel kommt bei mir S(0|5)

Gut, richtig gerechnet bis hierher, aber...

Du hast berechnet g5(x)=5 entsprechend y-Wert=5, das stimmt. Für den zugehörigen Wert für u hast du 0 gesetzt, warum eigentlich? Weil du das Ergebnis bereits kennst?
Dieser Wert wurde bei diesem Lösungsweg noch nicht berechnet, und wir müssen auch so tun, als wenn wir ihn nicht kennen, und wir wollen ihn daher mit dem nächsten Schritt unter 2. ermittelten.

Wenn du dir das Bild der Parabel vorstellst, dann siehst du, dass sie nach oben geöffnet ist, also dort, wo die Steigung der Tangente = 0 ist, ein Minimum hat, also dort der Scheitel ist, also kann nur v=5 sein, wie du errechnet hast.

Wir haben also bisher erst für die Gleichung der Parabel: y=a*(x-u)^2+5, im nächsten Schritt soll jetzt u errechnet werden, der x-Wert, wo der Scheitel der Parabel ist.

Dazu gehst du vor wie bei 2.
Du bestimmst einmal aus der Geradenschar die Gleichung der Geraden mit z.B. t=1, und die Gleichung einer zweiten Geraden mit t=-1.
(Du könntest auch t=2 und t=-2 nehmen oder zwei beliebig andere Werte m und -m).
Du berechnest damit die Tangente an einer Seite der Parabel und die Tangente genau 'gegenüber' an der anderen Seite der Parabel. Da die Parabel 'symmetrisch' ist, schneiden sich die beiden Tangenten irgendwo genau unter dem Scheitel der Parabel (eine kleine Skizze ist hier sehr hilfreich).
Du bestimmst also den Schnittpunkt der beiden Tangenten, und der errechnete x-Wert ist der gesuchte x-Wert für den Scheitel der Parabel. Der y-Wert des Schnittpunkts wird bei 3. benötigt.
Schreib bitte die beiden Gleichungen der Tangenten und deren Schnittpunkt, sowie die damit errechnete Gleichung für die Parabel.
Morgen sehen wir dann weiter.

07.01.2005, 22:37

chrissi

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hmm ja also
ich hab das alles schon gerechnet:

jedoch ist für t=2 und t=-2 die zwei tangenten nicht symetrisch

also ich bin soweit:
habe zwei tangenten berechnet
die eine mit t=0 und die andere für t=10
diese beiden sind dann symetrisch

daraus ergibt sich dann
y=-x
und y=x

nun die beiden Gleichungen gleichsetzetn:
ergibt:

x=-x
2x=0
x=0

dann hatte ich S(0|5)
dann in die Scheitelform einsetzten
y=a*(x-0)^2+5

so und jetzt weiß ich nicht mehr weiter

07.01.2005, 23:26

etzwane

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ach ja, ich verstehe, das war mein Fehler, die Konzentration lässt halt nach.

Man muss natürlich für die Steigung m einmal 1 und einmal -1 oder zwei andere entsprechende Zahlen nehmen, und daraus für jedes m das zugehörige t ausrechnen, und mit den daraus ermittelten Tangenten den Schnittpunkt berechnen, was du offensichtlich so gemacht hast.

Also die Koordinaten des Scheitels sind S(0|5).

So, jetzt schrieb Leopold bei 3. ich zitiere:
"Bei einer Parabel hat der Punkt, in dem eine Tangente die Parabel berührt, von der Scheiteltangenten denselben Abstand wie der Punkt, in dem die Tangente die Symmetrieachse der Parabel schneidet."

Das bedeutet doch, dass der Schnittpunkt der Tangenten genauso viel unter dem Scheitelpunkt liegt, wie der Berührungspunkt der Tangente mit der Parabel (seitlich) über dem Scheitelpunkt ist.

Damit kannst du den y-Wert des Schnittpunktes errechnen.

Aus der Gleichung für eine der Tangenten kannst du mit diesem y-Wert den x-Wert des Berührungspunktes bestimmen.

Damit hast du auch x und y für den Berührungspunkt auf der Parabel, und durch Einsetzen in die Gleichung der Parabel kannst du das fehlende a errechnen.

Morgen geht es weiter, das Problem mit den Spiegelungen im Glaszylinder machen wir dann. Schau dir schon mal meine Skizze dazu an und schreib auf, wie du aus ys und zugehörigem xs den Winkel alpha berechnen würdest, und daraus den Winkel beta.

08.01.2005, 00:24

chrissi

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hmm also hab jetzt schon die ganze zeit überlegt wie das wohl geht mit dem zeichnen und dabei im netz gesucht
und da ich nciht anders drauf komme hier eine super erkläreung für dummi ;-)

http://www.mathematische-basteleien.de/ring.htm

nach diesem bsp hab ich es dann gerafft ;-)
aber viel arbeit das so zu zeichnen *stress* am frühen morgen

08.01.2005, 00:26

chrissi

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und nochmal zum scheitel kannst du mir vllt sagen wie man den teil in nr 3 rechnet?

habe nämlich viel ausprobiert und ich komm einfach nciht auf diese 1/20 für die steigung

ich dachte dass es so gemeint war

schnittpunkt der tangenten= 0/0
scheitelpunkt= 0/5
dann dachte ich der abstand ist ja dann 5

also nochmal fünf nach oben dann wäre das ein x-Wert von 10

jetzt hab ich geschaut wo dann der y-Wert der sschar läge, so kam ich dann auf 10

dann hätte ich demnach den punkt 10/10
diesen habe ich dann in die scheitelform eingesetzt
komme dann aber immer auf die steigung:

$\begin{eqnarray*} a=\sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

und das stimmt ja dann nciht mehr

08.01.2005, 01:07

chrissi

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mein nächstes problem ist die aufgabe 2d

die da lautet
untersuchen sie kreisscharen, die auch durch gleichungen der form
(x-at^2)^2+y^2=(bt)^2 beschrieben werden

08.01.2005, 09:57

etzwane

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Zitat:

Original von chrissi
ich dachte dass es so gemeint war

schnittpunkt der tangenten= 0/0
scheitelpunkt= 0/5
dann dachte ich der abstand ist ja dann 5

also nochmal fünf nach oben dann wäre das ein x-Wert von 10

Fast richtig ist: also nochmal fünf nach oben dann wäre das ein x-Wert von 10 (der Mangel an Konzentration zu so später Stunde eben ...)

Richtig ist: ... dann wäre das ein y-Wert von 10

Wie war jetzt die Gleichung einer der Tangenten mit Schnittpunkt (0|0) ? Da setzt du jetzt diesen y-Wert ein und errechnest den zugehörigen x-Wert, und mit beiden das a. Versuch's mal so.

Der Link zu der Spiegelung im Ring ist sehr gut, vor allem wurde ich dadurch an den Begriff "Katakaustik" für die Hüllkurve erinnert, den muss ich früher schon mal gelesen haben.
Ist diese Aufgabe nun zu deiner Zufriedenheit gelöst? Ich könnte mir dazu eine weitere Aufgabe vorstellen: Zeige, dass sich die reflektierten Lichtstrahlen nicht in einem Punkt (auf der x-Achse) schneiden ?

Und zu Aufgabe 2d versuchen wir auch noch eine Erklärung/Lösung zu finden.

EDIT: Link ergänzt Katakaustik

EDIT: Link ergänzt Zeichnen von Kurvenscharen

z.B. der Geradenschar mit einer Parabel als Hüllkurve

08.01.2005, 12:09

chrissi

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y-Wert von 10

Wie war jetzt die Gleichung einer der Tangenten mit Schnittpunkt (0|0) ?
also und die gleichungen der tangenten hieß y=x oder y=-x
das hat sich ja daraus ergeben als ich t=0 oder t=10 gesetzt habe

Da setzt du jetzt diesen y-Wert ein und errechnest den zugehörigen x-Wert, und mit beiden das a. Versuch's mal so.

also und wenn ich jetzt den y-wert nehme und einsetzte:
x=10 oder 10=-x -->x=-10

und die werte dann in die scheitelform einsetzte:
für y=10 und x=10

y=a*(x-0)^2+5
10=a*(10-0)^2+5
10=10a^2+5
5=10a^2
5/10=a^2
a= $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{5}{10}} \end{eqnarray*}$

hmm und das stimmt ja nicht a müsste logischerweise 1/20 ergeben

08.01.2005, 12:20

chrissi

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gut also dann bin ich soweit zufrieden

habe auch selbst diese internetseite entdeckt nur wusste ich nicht ganz wie ch es einzugeben habe
aber dank deines bsp ist das auch klar geworden

werde jetzt mit aufgabe 2d weiter schauen

08.01.2005, 12:46

etzwane

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Zitat:

Original von chrissi

y=a*(x-0)^2+5
10=a*(10-0)^2+5
10=10a^2+5
5=10a^2
5/10=a^2
a= $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{5}{10}} \end{eqnarray*}$

hmm und das stimmt ja nicht a müsste logischerweise 1/20 ergeben

Schau dir deine Rechnung noch mal genau an. Ich habe den Rechenschritt mit dem Fehler markiert.

08.01.2005, 12:55

chrissi

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gg oke mein brett vor kopf ist weg lach

ich glaub ich sollte mal die regeln lernen gg

dann hat sich mein problem jetzt aufgelöst

-10+100*a+5=0
a=1/20

;-) dake jetzt hab ich endlich die gesuchte 2/20 :-)

08.01.2005, 13:33

etzwane

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So, jetzt zu Aufgabe 2d:

Zitat:

Original von chrissi
untersuchen sie kreisscharen, die auch durch gleichungen der form
(x-at^2)^2+y^2=(bt)^2 beschrieben werden

Erinnerst du dich an die Aufgabe mit den Schallwellen, die durch ein "Düsenflugzeug" erzeugt werden:

Zitat:

Daraus folgt die Gleichung der Kreisschar zu: (x-vt)²+y²=(kt)²

Zu c) Hier ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs v größer als die Geschwindigkeit k des Schalls in der Luft. Vor der einhüllenden Geraden ist es still, hinter der Geraden hört man das Geräusch des Flugzeugs, und genau im Durchgang der Geraden am Beobachtungsort den Überschallknall.

Wenn du genauer hinsiehst, erkennst du, dass die Gleichungen mehr oder weniger übereinstimmen.

Das b entspricht der Schallgeschwindigkeit k, das v war die konstante Geschwindigkeit des Flugkörpers, und anstelle von v haben wir jetzt a*t dort stehen.

Das bedeutet physikalisch, dass der Flugkörper nicht mehr mit konstanter Geschwindigkeit fliegt, sondern mit konstanter Beschleunigung a/2 beschleunigt und dabei immer schneller wird.

Du kannst ja mal für b=340 und für a=5 (die Beschleunigung entspricht dann ungefähr der Erdbeschleunigung g) einsetzen und schauen, ob und ab wann sich eine Hüllkurve bildet. Ich probier es auch.

08.01.2005, 14:00

chrissi

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gut das wer ich mir jetzt gleich anschauen

nebenbei probiere ich gerade wie in aufgabe 4 gestellt war ein solch garagentor in verschiedenen stationen einzuzeichnen
wobei ich dann nciht genau wieß wie ich das mit demn 15 ° zu machen hab
vlt hast da ja auch en kleinen tipp dazu

08.01.2005, 14:10

etzwane

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Zitat:

Original von chrissi
vlt hast da ja auch en kleinen tipp dazu

Habe ich.
Die Länge des Garagentors ist bekannt, und wenn du jetzt die Endpunkte für Winkel von 15, 30, 45 ...usw. Grad ausrechnen willst, benutzt du sin und cos. Mach dir eine Skizze von dem Dreieck.

08.01.2005, 14:27

chrissi

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was dann aber trotzdem nicht geht ist das dass garagentor ja nicht immer am untersten punkt feststeht sondern auch auf der y-achse mitwandert...
habe jetzt eine skizze gemacht und die erste torstellung eingezeichnet mit 15°

schreibe ich dann einfach:
sin 15°=x/4

sin30°=x/4... und schauee dann in meienr skizze an welcher stelle das eine länge von 4 ergibt?

oder ich berechne eben cos und sin und hab dann die genauen maße und zeichne dann ein
also wenn das jetzt fasch ist was ich sage bitte melden ;-)

08.01.2005, 15:04

chrissi

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nun häng ich wieder woanders:

du hast damals bei der berechnung der hüllkurve vollgenden schritt gemacht:
$\begin{eqnarray*} t=2^\frac{1}{3} * x^\frac{1}{3} = 16^\frac{1}{3}*x^ \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

jetzt musst du mir nur nochmal verraten wie du auf den zweiten teil kamst
du hast da ja nur die 2 zur 16 gemacht

08.01.2005, 15:18

etzwane

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ich bin jetzt zu faul zum Nachschauen, aber das müsste damals 2^(4/3) gewesen sein

EDIT: habe nachgeschaut, war 2^(4/3)

08.01.2005, 15:21

chrissi

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hmm achso dann isse klar sorry

08.01.2005, 15:49

etzwane

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Zitat:

Original von chrissi
oder ich berechne eben cos und sin und hab dann die genauen maße und zeichne dann ein

Du berechnest x und y (immer beide) mit sin und cos und L=4 für jede Winkelstellung, erhältst die beiden Punkte auf den Achsen und verbindest die Punkte.

08.01.2005, 15:50

chrissi

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jetzt noch was anderes
zu der Hüllkurve
gt(x)=(12*t^2-2)*x-16*t^3

es wird hier vorgerechnet: siehe anhang

ich rechne das jetzt schon mehrmals durch und ich glaube dass hier ein fehler unterlaufen ist
denn wenn ich in der gleichung gt(x) die -2 weglasse komme ich auhc auf das unten angefühte bsp der ableitung
sie müsste dann so aussehen:
gt(x)=(12*t^2)*x-16*t^3

08.01.2005, 17:18

etzwane

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Zitat:

Original von chrissi
zu der Hüllkurve
gt(x)=(12*t^2-2)*x-16*t^3

Rechne mal die Klammer aus: gt(x)=12*t^2*x - 2*x - 16*t^3

Wenn du jetzt (partiell) nach t differenzierst, wird das 2*x behandelt wie eine Konstante, fällt also bei der Differenzierung raus. Du differenzierst ja nicht nach x, sondern nach t.

Insofern stimmt die Beispielrechnung schon.

08.01.2005, 18:32

chrissi

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okay stimmt,
nun und wie wird dann gerechnet mit
pt(x)=t*x-c*(1+t^2)*x^2

zum andern:
bin bei 2d noch auf keien ergebnis gekommen

08.01.2005, 19:06

etzwane

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2d sieht sehr schwierig aus, lass uns daher erst die einfacheren Aufgaben machen. Ich fürchte, 2d müssen wir rechnerisch angehen.

Es sei gegeben: pt(x)=t*x-c*(1+t^2)*x^2

Die Klammer auflösen, dann pt(x) partiell differenzieren nach t,
die Ableitung = Null setzen und daraus t als Funktion von x bestimmen,
und dies eingesetzt in y=t*x-c*(1+t^2)*x^2 ergibt die Gleichung der Hüllkurve.

Versuch es mal so.

Zur Kontrolle mein Ergebnis:
t=1/(2cx)
y=1/(4c)-cx^2 für die Hüllkurve

08.01.2005, 19:18

chrissi

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also wenn ich die klammer auflöse komm ich auf :
t*x-c*x^2+t^2*x^2

08.01.2005, 19:23

etzwane

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da ist im letzten Term schon ein Fehler drin.

08.01.2005, 19:33

chrissi

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dann muss es heißen:
-t^2*c*x^2-c*x^2

08.01.2005, 19:39

etzwane

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nicht das t*x vergessen!

Also pt(x) = t*x - t^2*c*x^2 - c*x^2

Und das jetzt partiell ableiten nach t und =0 setzen. Also pt'(x) = ?

08.01.2005, 19:45

chrissi

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x-2*t*c*x^2

nach t auflösen ergibt dann
t=1/2*c*x

08.01.2005, 19:49

etzwane

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Jetzt vorher noch mal t^2 ausrechnen und dann t und t^2 einsetzen in

y = t*x - t^2*c*x^2 - c*x^2

08.01.2005, 19:49

chrissi

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und wenn ich das ergebnis von t in pt(x) einsetzte erhallte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{-c^3*x^4}{4}-c*x^2 \end{eqnarray*}$

08.01.2005, 19:51

chrissi

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t^2 berechnet ergibt:

1/(4*c^2*x^2)

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