Eigenwerte, Drehmatrix

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Boffi23 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte, Drehmatrix
Hi!

Ich hoffe, mir kann jemand bei folgendem Problem weiterhelfen:

Bringen Sie
Matrix A=

1 | 0 | 0
0 | 3/2 | -1/2
0 | -1/2 | 3/2

Auf Hauptachsenform (Diagonalform)

a) Wie lauten die Eigenwerte?
b) Wie lauten die Eigenvektoren?
c) Wie lautet die Drehmatrix D0 ?

Wäre nett, wenn sich jemand mal kurz das durchschauen könnte und mir seine Ergebnisse (mit etwas Lösungsweg) hier posten könnte. Blicke nämlich noch nicht so durch da, deshalb wäre etwas zum Lösungsweg auch ganz praktisch. Bin mir nicht sicher bei meiner Lösung.

Dankeschön und frohe Weihnachten

Boffi23
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Frohe Weihnachten!

Zitat:
Bin mir nicht sicher bei meiner Lösung.

Was hast denn du so raus? bzw was hast du denn gerechnet?

Also zur Aufgabe:

a) Eigenwerte rechnet man ja aus, indem man die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmt (das Charakteristische Polynom war dieses Ding: . Und weil da schön viele Nullen drin sind, geht das mit diesem Determinantenentwicklungssatz recht schnell (Wie hieß der gute Mann noch, nach dem das benannt war?).

b) Zum Eigenvektoren ausrechnen braucht man die Eigenwerte. Eigenvektoren sind die lustigen Dinger, die mit der Matrix multipliziert einfach wieder ein vielfaches von sich selbst werden. Und zwar nicht irgendein vielfaches, sondern Eigenwert mal Eigenvektor. Sprich:
bzw umgeformt zu:
Also kann man die Eigenvektoren bestimmen indem man das homogene Gleichungssystem löst, was durch beschrieben wird.

c) Hier bin ich leider nicht mehr ganz bibelfest. Wenn ich mich recht erinnere diagonalisierte man eine Matrix ja so indem man eine Matrix C findet so dass Diagonalform hat. Und in dieser C Matrix standen einfach die Eigenvektoren. Allerdings ist eine Matrix genau dann diagonalisierbar, wenn die Dimenson der Eigenräume gleich n ist, also in diesem Fall 3. Aber wenn ich micht nicht verrechnet habe, komm ich hier nur auf 2 linear unabhängige Eigenvektoren. Allerdings hab ich Drehmatrix auch noch nicht im Zusammenhang mit Diagonalisieren gehört... Hmm vll weiss jemand mehr Hilfe

Ich hoffe ich konnte dir ein bisschen weiterhelfen, aber vermutlich hab ich dir nix neues erzählt Hammer
Boffi23 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey

Ja also meine Eigenwerte waren 1 (zweimal) und 2 (einmal).

Also 1 und 2.
Die Eigenvektoren ließen sich nicht eindeutig bestimmen, sondern in Abhängigkeit von y und z Kompontene. x war immer 0.
Z.B. waren für mich (0,1,1) und (0,1,-1) zwei EV. Ich bin jedoch ebenfalls auf 2 linear unabhängige und nicht mehr gekommen.

Ist die Diagonalisierte Matrix nicht einfach die, wo die Eigenwerte diagonal drinstehen? Das sollte doch in diesem Falle

1 | 0 | 0
0 | 2 | 0
0 | 0 | 2

sein, oder?

Falls noch jemand mehr weiß bezüglich der Drehmatrix, wäre ich sehr dankbar.
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Argh muh, ich hab die Matrix falsch abgeschrieben, hatte ein Minus vergessen. Hammer

Jetzt komm ich auch auf die Eigenwerte 1 und 2. Augenzwinkern

Zitat:
Z.B. waren für mich (0,1,1) und (0,1,-1) zwei EV. Ich bin jedoch ebenfalls auf 2 linear unabhängige und nicht mehr gekommen.

Die beiden sind schon richtige EV. Wenn ich das richtige Sehe ist (0,1,1) aus dem Eigenraum zum EW 1 und (0,1,-1) aus dem Eigenraum zum EW 2. Aber hat ja Rang 2, da müssten doch eigentlich 2 linear unabhängige drin stecken, aber irgentwie bin ich dazu gerade zu blöde verwirrt .

Zitat:
Ist die Diagonalisierte Matrix nicht einfach die, wo die Eigenwerte diagonal drinstehen?

Jo, und die Reihenfolge wie die EW auf der Diagonalen stehen hängt davon ab, welche Drehmatrix du benutzt.

EDIT: Muh, so Blödheit überwunden... Natürlich gibts zu dem Eigenwert 1 zwei Eigenvektoren. Ich hab oben gesagt Rang 2 -> 2 Eigenvektoren. Das ist natürlich Quatsch (So gings nämlich: Im f + Ker f =dim V, für f:V->V). Also gibts beim EW 2 nur einen EV.

Dann müsste die Diagonalmatrix auch so aussehen:

quarague Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie sehe ich nicht, warum ihr nur 2 Eigenvektoren habt. Zum Eigenwert 1 gibt es die beiden Eigenvektoren (1,0,0) und (0,1,-1) und zum Eigenwert 2 den Eigenvektor (0,1,1) Dann kann man diese 3 Vektoren als Matrix anordnen und kriegt die Drehmatrix, die diagonalform ist dann die, die navajo im letzten Post angegeben hat.
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